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直线与方程

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  • 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角  `x` 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角. 特别地,当直线与 `x` 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 `0` 度. 因此,倾斜角的取值范围是 `0°\leqslant α<180°`. 

直线的斜率  倾斜角不是 `90°`的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率. 直线的斜率常用 `k` 表示. 即 `k=\tan \alpha`. 斜率反映直线与轴的倾斜程度.

当 `\alpha \in [0^\circ ,90^\circ )` 时, `k\geqslant 0`;当 `\alpha \in [90^\circ ,180^\circ )` 时, `k\leqslant 0` ;  当 `\alpha = 90^\circ` 时, `k` 不存在.

过两点的直线的斜率公式: `k=\dfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}~(x_1 \neq x_2)`.

注意以下四点:

(1)当 `x_1=x_2` 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 `90°`;

(2)`k` 与 `P_1、P_2` 的顺序无关;

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

对两条不重合的直线 `l_1,l_2`, 其斜率分别是 `k_1,k_2`, 有 `l_1//l_2\iff k_1=k_2`.

如果两条直线都有斜率, 且它们互相垂直, 那么它们的斜率之积等于 `-1`; 反之, 如果它们的斜率之积等于 `-1` , 那么他们互相垂直. 即 `l_1\perp l_2 \iff k_1k_2=-1`

  • 直线的方程

直线方程的定义:一个方程的解为坐标的点都是某一直线上的点;反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.

(1)直线点斜式方程  `y-y_1=k(x-x_1)` 直线斜率 `k`, 且过点 `(x_1,y_1)`.

关于点斜式的几点说明:

a.要注意到 `\frac{y-y_0}{x-x_0}=k` 与 `y-y_0=k(x-x_0)` 是不同的,前者表示的直线上不包括点 `P_0(x_0, y_0)`,后者才是整条直线.

b.当直线的斜率为 `0°` 时,`k=0`,直线的方程是 `y=y_1`.

c.当直线的斜率为 `90°` 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 `l` 上每一点的横坐标都等于 `x_1`,所以它的方程是 `x=x_1`.

经过点 `P_0(x_0, y_0)` 的直线有无数条,可分为两类:
a.斜率存在的直线,方程为: `y-y_0=k(x-x_0)`;

b.斜率不存在的直线,方程为:`x=x_0`.

(2)直线斜截式方程  `y=kx+b`, 直线斜率为 `k`, 直线在 `y` 轴上的截距为 `b`.

截距是实数,故可以是正数、负数和零,若直线过某点,则此点的坐标适合直线的方程,故可将点的坐标代入方程得等式.

(3)直线两点式方程  `\dfrac {y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac {x-x_1}{x_2-x_1}~(x_1\neq x_2, y_1\neq y_2)` 直线过两点 `(x_1,y_1),(x_2,y_2)`.

(4)直线截距式方程  `\dfrac {x}{a}+\dfrac{y}{b}=1`.

(5)直线一般式方程  `Ax+By+C=0~(A,B~不全为0的常数)`

直线系方程:即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

平行于已知直线 `A_0x+B_0y+C_0=0~(A,B~不全为0的常数)` 的直线系:`A_0x+B_0y+C_0=0` (`C`为常数).

平行直线系方程,成长吧啊

(二)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为 `k` 的直线系:`y-y_0=k(x-x_0)`,直线过定点 `(x_0,y_0)`;

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(ⅱ)过两条直线 `l_1:~A_1x+B_1y+C_1=0,~l_2:~A_2x+B_2y+C_2=0` 的交点的直线系方程为$$(A_1x+B_1y+C_1=0)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0~(\lambda 为参数),$$其中直线 `l_2` 不在直线系中.

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(三)与直线 `Ax+By+C=0` 垂直的直线系方程:

已知直线 `l: Ax+By+C=0`,则与直线 `l` 垂直的直线系方程为 `Bx-Ay+  \lambda=0` (其中参数 `\lambda \neq R`).

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直线各形式方程的比较

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直线的特殊形式方程与一般形式方程的互化

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Ⅰ、直线的特殊形式方程经过运算、整理,都可以化为直线一般形式的方程.

Ⅱ、直线一般形式的方程在一定条件下可以化为特殊形式的方程. 这里“一定条件”是不可缺少的。如当 `B≠0` 时,方程可化为 `y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}`,这就是直线的斜截式方程.

Ⅲ、直线特殊形式间的互化可以直接进行,也可以一般式为桥梁,但也要一定的条件。比如截距式可以转化为斜截式,而斜截式不一定可以转化为截距式.

Ⅳ、各种形式之间的互化的实质是方程的同解变形.

两条直线平行的判定

设直线 `l_1`,`l_2` 的斜率分别为 `k_1`,`k_2`,若 `l_1//l_2`,则 `l_1` 与 `l_2` 的倾斜角 `\alpha _1` 与 `\alpha _2` 相等.即 `l_1 // l_2 \iff \alpha _1  = \alpha _2` .

(1)公式 `l_1 // l_2 \iff \alpha _1  = \alpha _2` 成立的前提条件是:①两条直线的斜率存在,分别为 `k_1`,``;② 与 不重合.

(2)当两直线的斜率都不存在且不重合时, `l_1` 与 `l_2` 的倾斜角都是 `90^\circ`,则 `l_1//l_2`.

(3)注意:若直线 `l_1` 和 `l_2`  可能重合时,我们得到:

`k_1=k_2 \iff \begin{cases} l_1 // l_2 \\ 或l_1与l_2 重合\end{cases}`

两条直线垂直的判定

如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于 `-1`;反之,如果它们的斜率之积为 `-1`,那么它们互相垂直,即 `l_1 \perp l_2 \iff k_1·k_2=-1`.

两条直线中,一条斜率不存在,同时另一条斜率等于零,则两条直线互相垂直,这样,两条直线垂直的判定可叙述为:一般地,`l_1 \perp l_2 \iff k_1·k_2=-1` 或一条斜率不存在,同时另一条斜率等于零.

若 `k_1·k_2 \neq -1` ,则两直线必不垂直.

  • 直线的交点坐标与距离公式

(1)两条直线的交点

`l_1:~A_1x+B_1y+C_1=0,~l_2:~A_2x+B_2y+C_2=0` 相交

交点坐标是方程组 `\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1=0 \\A_2x + B_2y + C_2=0 \end{cases}` 的一组解.

`方程组无解 \iff l_1//l_2 `;          `方程组有无数解 \iff l_1 与 l_2 重合`.

(2)两点间距离公式

设 `A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)` 是平面直角坐标系中的两个点, 则 `\left|AB \right|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}`.

两点之间的距离公式,将几何问题转化为代数问题来解决.

用代数问题来解决几何问题的步骤:

a.建立坐标系,用坐标系表示有关的量;

b.进行有关的代数运算;

c.把代数运算结果“翻译”成几何关系.

(3)点到直线距离公式

一点 `P(x_0,y_0)` 到直线 `l_1:Ax+By+C=0` 的距离 `d=\dfrac {\left|Ax_0+By_0+C \right|}{\sqrt {A^2+B^2}}`.

Ⅰ点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任一条直线的距离的求解,但是注意直线的方程必须是一般式.

Ⅱ若点 `P` 在直线上,则点 `P` 到直线的距离公式仍然成立,且距离为零.

Ⅲ点到几种特殊直线的距离:

a.点 `P_1(x_1,y_1)` 到x轴的距离 `d=|y_1|`;
b.点 `P_1(x_1,y_1)` 到y轴的距离 `d=|x_1|`;
c.点 `P_1(x_1,y_1)` 到与x轴平行的直线 `y=b~(b \neq 0)` 的距离 `d=|y_1-b|`;
d.点 `P_1(x_1,y_1)` 到与y轴平行的直线 `x=a~(a \neq 0)` 的距离 `d=|x_1-a|`;这几个结论没必要记忆,同学们只需画出图形,根据图形可直接观察得到,也可以利用点到直线的距离公式直接求解.

(4)两平行直线距离公式

两平行直线 `Ax+By+C_1=0 和 Ax+By+C_2=0`间的距离

`d=\dfrac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}~~(A^2+B^2 \neq 0)`

对于公式的说明:

两平行线间的距离是一条直线上任意一点到另一直线的距离,也可以看做是两条直线上各取一点,这两点间的最短距离.

使用此公式的前提有二:一是把直线化成一般式;二是两直线中 `x,y` 的系数必须相同.