你在这里

空间几何体

主标签

多面体  一般地, 把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体, 围成多面体的各个多边形叫做多面体的, 相邻两个面的公共边叫做多面体的, 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

柱、锥、台、球的结构特征

棱柱      棱锥     棱台

多面体

(1)棱柱的结构特征

定义:棱柱有两个面互相平行、而其余每相邻两个面的交线都互相平行.

棱柱的两个互相平行的面叫做棱柱的底面;其余个面叫做棱柱的侧面;两侧面的公共边叫棱柱的侧棱;棱柱两底面之间的距离、叫棱柱的高.
侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱;侧棱与底面垂直的棱柱的叫直棱柱;底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱;底面是平行四边形的棱柱叫平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体;底面是矩形的直平行六面体是长方体;棱长都相等的长方体是正方体.

(2)棱锥的结构特征

定义:棱锥有一个面是多边形,而其余个面都是有一个公共顶点的三角形.

棱锥中有公共顶点的各三角形叫棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫棱锥的侧棱;多边形叫棱锥的底面;顶点到底面的距离叫棱锥的高.
棱锥用表示顶点和地面各顶点的字母或者用表示顶点和底面的一条对角线短点的字母来表示、例如:`S-ABCD`.
如果棱锥的底面是正多边形、它的顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上、则这个棱锥叫做正棱锥.
容易验证:正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高.

(3)棱台的结构特征

定义:棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫棱台.

原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面上底面;其他各面叫棱台的侧面;相邻两侧面的公共边叫棱台的侧棱;两底面间的距离叫棱台的.
由正棱锥截得的棱台叫正棱台,正棱台各侧面都是全等的等腰梯形、这些等腰梯形的高叫棱台的斜高,棱台可用表示上下底面的字母来命名、例如:`ABCD-A'B'C'D' `.
 

旋转体

定义:一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面;该定直线叫做旋转体的;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.

(4)圆柱的结构特征

定义:以矩形的一边为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体就是圆柱.

旋转轴叫做圆柱的;旋转所形成两个圆叫做圆柱的底面,所形成的曲面叫做圆柱的侧面;上底面到下底面的距离叫做圆柱的;沿圆柱表面从上底面到下底面且垂直底面的任何一条线叫做圆柱体的母线.

(5)圆锥的结构特征

定义:以直角三角形的一直角边为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体就是圆锥.

圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高;圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离叫做圆锥的母线.

(6)圆台的结构特征

定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台. 也可以看做以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴、旋转一周形成的曲面所围成的几何体.

旋转轴叫做圆台的轴;直角梯形上、下底旋转所成的圆面称为圆台的上、下底面,另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面;侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线;圆台的轴上的梯形的腰的长度叫做圆台的高,圆台的高也是上、下底面间的距离.

(7)球体的结构特征

定义:一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面所围成的几何体就是球体.

形成球的半圆的圆心叫球心;连接球面上一点和球心的线段叫球的半径;连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径, 球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
 

  • 空间几何体的三视图和直观图 

(1)中心投影与平行投影

(2)空间几何体的三视图

定义三视图正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、俯视图(从上向下).

三视图01三视图02三视图03

注意:

正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度;

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度.

(3)空间几何体的直观图

空间几何体的直观图画法: 斜二测画法.

斜二测画法特点:

①原来与 `x` 轴平行的线段仍然与 `x` 平行且长度不变;

②原来与 `y` 轴平行的线段仍然与 `y` 平行,长度为原来的一半.

  • 空间几何体的表面积与体积 

(1)柱体、椎体、台体的表面积与体积

几何体表面积: 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和.

特殊几何体表面积公式( `c` 为底面周长,`h` 为高, `h'` 为斜高,`l` 为母线).

`S_{直棱柱侧面积}=ch`;

`S_{圆柱侧面积}=2\pi rh`;

`S_{正棱锥侧面积}=\frac{1}{2}ch'`;

`S_{圆锥侧面积}=\pi rl`;

`S_{正棱台侧面积}=\frac{1}{2}(c_1+c_2)h'`;

`S_{圆台侧面积}=(r+R)\pi l`;

`S_{圆柱表}=2\pi r(r+l)`;

`S_{圆锥表}=\pi r(r+l)`;

`S_{圆台表}=\pi (r^2+rl+Rl+R^2)`;

柱体、锥体、台体的体积公式

`V_柱=Sh`;

`V_{圆柱}=Sh=\pi r^2h`;

`V_锥=\frac{1}{3}Sh`;

`V_{圆柱}=\frac{1}{3}\pi r^2h`;

`V_台=\frac{1}{3}(S'+\sqrt{S'S}+S)h`;

`V_{圆台}=\frac{1}{3}(S'+\sqrt{S'S}+S)h=\frac{1}{3}\pi (r^2+rR+R^2)h`.

(2)球的体积和表面积

`V_球=\frac{4}{3}\pi R^3`;

`S_{球面}=4\pi R^2`.