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参数方程

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参数方程的概念: 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 `x,y` 都是某个变数 `t` 的函数 `\begin{cases}x =f(t),\\y=g(t). \end{cases}` 并且对于 `t` 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 `M(x,y)` 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 `x,y` 的变数 `t` 叫做参变数,简称参数.

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

  • 直线的参数方程

经过点 `M_0(x_0,y_0)`,倾斜角为 `\alpha` 的直线 `l` 的参数方程可表示为 `\begin{cases}x=x_0+t\cos\alpha, \\y=y_0+t\sin\alpha.\end{cases}~(t为参数)`.

  • 圆的参数方程

圆 `{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {r^2}` 的参数方程可表示为 `\begin{cases}x=a+r\cos \theta ,\\y=b+r\sin \theta .\end{cases}~(\theta为参数)`.

  • 椭圆的参数方程

 椭圆 `\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}~~(a>b>0)` 的参数方程可表示为 `\begin{cases}x=a\cos \phi ,\\y=b\sin \phi .\end{cases}~(\phi为参数)`.

  • 抛物线的参数方程

抛物线 `y^2 =2px` 的参数方程可表示为 `\begin{cases}x=x_0+t\cos \alpha ,\\y=y_0+t\sin \alpha .\end{cases}~(t为参数)`.

注意: 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围. 在参数方程与普通方程的互化中,必须使 `x,y` 的取值范围保持一致.

圆锥曲线的统一极坐标方程:

以圆锥曲线的交点(椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴,则圆锥曲线的统一极坐标方程为$$\rho  = \frac{{ep}}{{1 - e\cos \theta }},$$其中\(e\)为离心率,\(p\)是焦点到相应准线的距离.