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坐标系

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  • 平面上的伸缩变换

设点 `P(x,y)` 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 `\phi : \begin{cases} x' = \lambda \cdot x,(\lambda > 0), \\ y' = \mu \cdot y,(\mu > 0). \end{cases} `  的作用下,点 `P(x,y)` 对应到点 `P'(x',y')`,称 `\phi` 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

  • 直角坐标系、极坐标系

1.平面直角坐标系的建立:在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系.

2.空间直角坐标系的建立:在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系.

3.极坐标系的建立:在平面上取一个定点 ``O,自点 `O` 引一条射线 `Ox`,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系. (其中 `O` 称为极点,射线 `Ox`称为极轴.)

设 `M` 是平面上的任一点, `\rho` 表示 `OM` 的长度, $\theta $ 表示以射线 `Ox`为始边,射线 `OM` 为终边所成的角. 那么有序数对 $(\rho ,\theta )$ 称为点 `M` 的极坐标. 其中 `\rho` 称为极径, $\theta $  称为极角.

约定:极点的极坐标是 `\rho =0`, $\theta $ 可以取任意角.

极坐标的一些性质:

1. 点 `M` 的极坐标:设 `M` 是平面内一点,极点 `O` 与点 `M` 的距离 `|OM|` 叫做点 `M` 的极径,记为 `\rho`;以极轴 `Ox` 为始边,射线 `OM` 为终边的 `\angle xOM` 叫做点 `M` 的极角,记为 `\theta`. 有序数对 `(\rho ,\theta )` 叫做点 `M` 的极坐标,记为 `M(\rho ,\theta )`. 

2. 极坐标 `(\rho ,\theta )` 与 `(\rho ,\theta  + 2k\pi )(k \in Z)` 表示同一个点. 极点 `O` 的坐标为 `(0,\theta )(\theta  \in R)`.

3. 若 `\rho  < 0`,则 ` - \rho  > 0`,规定点 `( - \rho ,\theta )` 与点 `(\rho ,\theta )` 关于极点对称,即 `( - \rho ,\theta )` 与 `(\rho ,\pi+\theta )` 表示同一点.

如果规定 `\rho  > 0,0 \leqslant \theta  \leqslant 2\pi `,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 `(\rho ,\theta )` 表示;同时,极坐标 `(\rho ,\theta )` 表示的点也是唯一确定的.

极坐标与直角坐标的互化:

`\rho ^2= x^2 + y^2`;

`x = \rho \cos \theta `;

`y = \rho \sin \theta`;

`\tan\theta  = \frac{y}{x}(x \ne 0)`.

  • 线的极坐标表示

在极坐标系中,`\theta  = \alpha (\rho  \geqslant 0)` 表示以极点为起点的一条射线;`\theta  = \alpha (\rho  \in R)` 表示过极点的一条直线.

在极坐标系中,过点 `A(a,0)(a > 0)`,且垂直于极轴的直线 `l` 的极坐标方程是 `\rho \cos \theta  = a`.

  • 圆的极坐标方程

在极坐标系中,以极点为圆心, `r` 为半径的圆的极坐标方程是 `\rho  = r`;

在极坐标系中,以 `C(a,0)~(a>0)` 为圆心, `a` 为半径的圆的极坐标方程是 `\rho  = 2a\cos \theta`;

在极坐标系中,以 `C\left(a,\frac{\pi }{2}\right)` 为圆心, `a` 为半径的圆的极坐标方程是 `\rho  = 2a\sin \theta `.

  • 柱坐标系和球坐标系