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  • 命题及其关系

命题: 一般地, 在数学中我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition).

真命题: 判断为真的语句为真命题(true proposition).

假命题: 判断为假的语句叫做假命题(false proposition).

若 `p` , 则 `q` 的形式, 是最常见的命题形式, 这种形式的命题中的 `p` 叫做命题的条件, `q` 叫做命题的结论

  • 四种命题

(1)互逆命题:  如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件, 那么这两个命题叫做互逆命题, 其中一个命题叫原命题(original proposition), 另一个叫做原命题的逆命题(inverse proposition). 如果原命题为: $$“若 ~p,~则~q”.$$ 那么它的逆命题为:  $$“若 ~q,~则~p”.$$

(2)互否命题: 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定, 就把这样的两个命题叫做互否命题, 如果把其中的一个命题叫做原命题, 那么另一个叫做原命题的否命题(negative proposition). 如果原命题为 $$“若 ~p,~则~q”.$$ 那么它的否命题为:  $$“若 ~\lnot p,~则~\lnot q”.$$

(3)互为逆否命题: 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定, 就把这样的两个命题叫做互为逆否命题, 如果把其中的一个命题叫做原命题, 那么另一个叫做原命题的逆否命题(inverse and negative proposition). 如果原命题为 $$“若 ~p,~则~q”.$$ 那么它的逆否命题为:  $$“若 ~\lnot q,~则~\lnot p”.$$

总结以上情况:

原命题:“`若 ~p,~则~q`”;

逆命题:“`若 ~q,~则~p`”;

否命题:“`若 ~\lnot p,~则~\lnot q`”;

逆否命题:“`若 ~\lnot q,~则~\lnot p`”.

四种命题真假性之间的关系如下:

(1)两个命题互为逆否命题, 它们有相同的真假性;

(2)两个命题为互逆命题或互否命题, 它们的真假性没有关系.

区别"否命题"与"命题的否定":

①只有“若\(p\),则\(q\)”形式的命题才有否命题,而所有的命题都有否定形式(在高中阶段只对全称、特称命题研究否定定形式);

命题“若\(p\),则\(q\)”的否命题是“若\(\neg p\),则\(\neg q\),而否定形式(指的命题的否定)为“若\(p\),则\(\neg q\)”.

②一个命题与其否定必有一个为真,一个为假;而一个命题与其否命题的真假无必然联系.