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不等式

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初中部分

(1)定义: 用不等号表示不等关系的式子叫不等式.

(2)五种不等号

①"`\neq`"读作"不等于", 它说明两个量之间的关系是不等的, 但不能表明大小;

②"`>`"读作"大于", 表示左边的量比右边的量大;

③"`<`"读作"小于", 表示左边的量比右边的量小;

④"`\geqslant`"读作"大于等于", 表示左边的量大于或等于右边的量, 也说成是"不小于";

⑤"`\leqslant`"读作"小于等于", 表示左边的量小于或等于右边的量, 也说成是"不大于";

  • 不等式基本性质

基本性质1: 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等号不发生改变;

基本性质2: 不等式两边都乘(或除以)同一个正数, 不等号不发生改变;

基本性质3: 不等式两边都乘(或除以)同一个负数, 不等号方向改变.

  • 不等式的解集

(1)不等式的解: 对于一个含有未知数的不等式, 任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫这个不等式的解;

(2)不等式的解集: 对一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫这个不等式的解集.

  • 用数轴表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集的规律: 大于向右画,小于向左画, 有等号画实心点, 无等号画空心圆圈.

(1)`x>a`, `a`处向右画空心圆圈;

(2)`x<a`, `a`处向左画空心圆圈;

(3)`x \ge a`, `a`处向右画实心点;

(4)`x \le a`, `a`处向左画实心点.

高中部分

  • 不等式的性质

如果  `a-b` 是正数, 那么 `a>b` ;  如果 `a-b` 等于0, 那么 `a=b` ;  如果 `a-b` 是负数, 那么 `a<b`. 反过来也对, 可以表示为

$$a-b>0 \iff a>b;$$

$$a-b=0\iff a=b;$$

$$a-b<0\iff a<b.$$

性质1 如果 `a>b` , 那么 `b<a`, 如果 `b<a` ,  那么`a>b` . 即

$$a>b \iff b<a. $$

性质2 如果 `a>b,~b>c` , 那么 `a>c` . 即

$$a>b,~b>c \Rightarrow a>c. $$

同样可知: `c<b,~b<a \Rightarrow c<a`.

性质3 如果 `a>b` , 那么 `a+c>b+c` . 

性质4 如果 `a>b,~c>0` , 那么 `ac>bc` . 如果 `a>b,~c<0` , 那么 `ac<bc` .

性质5 如果 `a>b,~c>d` , 那么 `a+c>b+d` .

性质6 如果 `a>b>0,~c>d>0` , 那么 `ac>bd` .

性质7 如果 `a>b>0` , 那么 `a^n>b^n` , `(n\in N,~n\geqslant 2)`.

性质8 如果 `a>b>0` , 那么 `\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}` , `(n\in N,~n\geqslant 2)`.

 

  • 证明不等式的基本方法

(1)比较法 

做差法 要证明 `a>b` , 最基本的方法就是证明 `a-b>0` , 即把不等式两边相减, 转化为比较差与0的大小.

即$$a\ge b \iff a-b\le 0;$$ $$a< b \iff a-b< 0.$$

一般步骤: ①作差;②变形;③判断正负.

做商法 当 `ab>0` 时考察商 `\frac{a}{b}` 与1的大小关系,从而判断 `a,~b` 的大小关系.

即$$a\ge b \overset{\underset{\mathrm{b>0}}{}}{\longleftrightarrow} \frac{a}{b}\ge 1;$$ $$a< b \overset{\underset{\mathrm{b>0}}{}}{\longleftrightarrow} \frac{a}{b}< 1.$$或$$a\ge b \overset{\underset{\mathrm{b<0}}{}}{\longleftrightarrow} \frac{a}{b}\le 1;$$ $$a< b \overset{\underset{\mathrm{b<0}}{}}{\longleftrightarrow} \frac{a}{b}> 1$$

注意分母的正负判断.

(2)综合法 由条件推导结果.

(3)分析法 由结果分析原因(条件).

(4)反证法 先假设命题不成立, 通过推理, 得到和命题的条件矛盾的结论, 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,就称为反证法.

(5)放缩法 证明不等式时, 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小, 简化不等式, 从而达到证明的目的. 这种方法称为放缩法.

(6)数学归纳法