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三角形

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三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 组成三角形的线段叫做三角形的边, 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点, 相邻两边组成的角叫做三角形的内角, 简称三角形的角.

一个三角形有三条边、三个顶点、三个内角.三角形高线

  • 三角形中主要线段

(1)三角形的高: 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线, 简称三角形的高.

(2)三角形的中线: 在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.

(3)三角形的角平分线:三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.

一个三角形有三条高、三条中线、三条角平分线. 

三角形的三条高、三条中线、三条角平分线(或延长线)都分别交于一点. 特殊的, 等边三角形中三线合一, 即等边三角形中同一个顶点出发的高、中线、角平分线,三线重合.

三角形角平分线,内心

  • 三角形的分类

三角形的分类有两种方法:

(1)按边相等的关系分类:`三角形\begin{cases} 不等边三角形 \\ 等腰三角形\begin{cases} 底边和腰不相等的等腰三角形 \\ 等边三角形 \end{cases} \end{cases}`.

(2)按角分类:`三角形\begin{cases} 直角三角形 \\ 斜三角形\begin{cases} 锐角三角形 \\ 钝角三角形 \end{cases} \end{cases}`.

  • 三角形的内角和

三角形三个内角的和等于 `180^\circ`. [[三角形内角和证明|三角形内角和证明]]

  • 三角形中的边角关系

(1)边与边的关系

三角形中任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边,. 反过来要使三条线段能组成一个三角形, 必须满足任意两条线段的和都大于第三条线段, 即最长边必须小于其它两边之和.

三角形中线

用式子表示如下:

`a, b, c是\triangle ABC 的边长 \iff \begin{cases} a+b>c \\ b+c>a \iff \left| a-b \right|< c < a+b \\ c+a>b \end{cases}`.

推广到任意多边形: 任意一边都小于其它各边的和.

(2)角与角的关系

三角形三个内角和等于 `180^\circ` ; 任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.

(3)边与角的关系

在一个三角形中, 等边对等角, 等角对等边;

大边对大角, 大角对大边;

在直角三角形中, 三边满足[[勾股定理|勾股定理]].

  • 三角形与多边形

这里指的多边形是边数超过3, 不包括三角形.

画出四边形 `ABCD` 的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.初中学习中的多边形,没有特别指明的话,指的都是凸多边形.

四边形,成长吧啊

从多边形的一个顶点出发, 连接与它不相邻的顶点, 形成的对角线把多边形分成了多个三角形.

多边形中, 从一个顶点出发的`(n-2)`条对角线, 把多边形分成了`(n-2)`个三角形(其中`n`是多边形的边数或顶点数).

多边形的内角和为: `(n-2)×180^\circ`.

多边形的外角和都是`360^\circ`, 和边数无关.

多边形外角和等于 360° 的一种直观解释