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集合

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集合  简单的讲就是"一堆放在一起的东西的整体". 集合并没有严格的数学定义, 但它又像"数"一样是基本的数学概念, 它是集合论的研究对象.集合论的基本理论直到十九世纪末才被德国数学家康托尔创立,现在已经是数学教育中一个普遍存在的部分,在小学时就开始学习了.这里对被数学家们称为“直观的”或“朴素的”集合论进行一个简短而基本的介绍;更详细的分析可见朴素集合论. 对集合进行严格的公理推导可见公理化集合论.

1.元素 一般地,我们把研究对象统称为元素. 元素(element),集合的元素一般用小写拉丁字母 `a,b,c……` 表示.

2.集合 把一些元素组成的总体集合(set),也简称集. 通常用大写拉丁字母表示 `A、B、C……` 表示.

理解集合的注意点:

(1)注意组成集合对象的广泛性,任何事物都可以作为组成集合的对象;

(2)集合是一个整体, 就暗含"所有""全部""全体"的含义.因此如果一些对象组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象;

(3)集合是一个原始的、不加概念,如同点、直线、平面等也都是不加定义的原始概念一样,要形象的理解,而不必记忆.

  • 集合中元素的三特性

(1)确定性:设 `A` 是一个给定的集合,`x` 是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关.

  • 元素与集合的关系:

(1)如果 `a` 是集合 `A` 的元素,就说 `a` 属于(belong to) `A`,记作:`a\in A`.

(2)如果 `a` 不是集合A的元素,就说 `a` 不属于(not belong to) `A`,记作:`a\notin A`.

  • 常用数集的表示方法:

文字描述 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数 实数集
字母表示 `N` `N^*` 或 `N_+` `Z` `Q` `R`

 

  • 集合的分类:

1.按元素的个数分类:

(1)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集.

(2)无限集:含有无有限个元素的集合叫做无限集.

2.按元素的属性分类:

(1)数集(元素是数);

(2)点集(元素是点);

(3)序数对(元素是有序数对);

.......

  • 集合表示方法:

1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“`\{~\, \}`”括起来表示集合的方法叫列举法. 例举法具有以下特点:

①集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序;

②各个元素之间要用逗号隔开;

③元素不能重复;

④集合中的元素可以数,点,代数式等;

⑤对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集 `N` 用列举法表示为 `\{1,2,3,4,5,……\}`.

2.描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号 `\{~\,\}` 内.

(1)自然语言描述

用文字描述的形式描述集合的方法.其特点是通俗易懂,使用此方法要注意叙述清楚,如"由所有正方形组成的集合" 就是自然语言表示的. 集合 `\{2,4,6,8\}` 用自然语言可以叙述为: 大于或等于2且小于或等于8的所有偶数组成的集合.

(2)代数表达式描述

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 它的一般形式是 `\{x\in I |P(x)\}`, 其中 "x" 是集合中元素的一般符号, `I` 是 `x` 的范围, "`P(x)`" 是集合中元素 `x` 的共同特性, 竖线不可省略.

这两种描述方法往往是混合使用的.

描述法表示集合注意以下几点:

①写清楚此集合中元素的代表符号, 即代表元素是什么:是数,还是点(有序数对),还是其它形式;

②集合与它的代表元素所采用的字母名称无关,只与代表元素的形式有关. 如 `\{x\in \text{R}|x>1\}` 与 `\{y\in \text{R}|y>1\}` 表示同一集合;

③用于描述条件的语句力求准确、简明,会用“且”“或”等表示元素间的关系;

④所有描述的内容都要写在集合符号内, 且不能出现未被说明的符号;

⑤如果从上下文明看, 代表元素 `x\in \text{R}` 是明确的,则 `x\in \text{R}` 可以省略.