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计数原理

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组合

组合 组合的定义:  从 `n` 个不同元素中取出 `m(m\leqslant n)` 个元素组成一组,而不考虑其元素的顺序,称为从 `n` 个不同元素中取 `m` 个元素的一个组合(combination). 组合数的定义:  从 `n` 个不同元素中取出 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有不同的个数,称为从 `n` 个不同元素中取 `m` 个元素的一个组合数, 用符号 `C_n^m` 表示.[1] [1] `C`是英文combination(组合)的第一个字母,  组合数还可以用符号 `\dbinom{n}{m}` 表示. 组合数计算公式:  $$C_n^m=\dfrac{A_n^m}{A_m^m}=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-m+1)}{m!}.$$其中 `n,m\in N^*`, 并且 `m\leqslant n`, 因为 $$A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}.$$所以组合数公式还可以写成$$C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}.$$ 规定 `C_n^0=1`. 组合数的性质 (1)\(C_n^m=C_n^{...
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排列

排列 排列的定义: 从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 `n` 个不同元素中取出 `m` 个元素的一个排列. 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同. 排列数的定义: 从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有排列的个数叫做从 `n` 个元素中取出 `m` 个元素的排列数,用符号 `A_n^m` 表示. 注意区别排 列和排列数的不同:“一个排列”是指:从 `n` 个不同元素中,任取 `m` 个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有排列的个数,是一个数. 所以符号 `A_n^m` 只表示排列数,而不表示具体的排列. 排列数公式: $$A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1).$$其中 `(m,n\in N^*,~m\leqslant n)`....
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重复元素的全排列

重复元素的全排列 在 `m` 个元素中,有 `{n_1}` 个元素相同,又另有 `{n_2}` 个元素相同,...,一直到另有 `{n_r}` 个元素相同,且 $${n_1} + {n_2} + ... + {n_r} = m, $$这 `m` 个元素的全排列叫做不尽相异的 `m` 各元素的全排列.易证不尽相异的 `m` 个元素的全排列计算公式为$$X = \dfrac{{m!}}{{{n_1}! \cdot {n_2}!...{n_r}!}}$$. 事实上,若 `m` 个元素互不相同,则全排列数有 `m!` ,但其中有 `{n_i}` 个元素相同,它们之间任意交换顺序(共有 `{n_i}!` 种交换顺序的方法)( `i = 1,2,...,r` ),得到的是同一排列,故不同的排列个数位 `\frac{{m!}}{{{n_1}! \cdot {n_2}!...{n_r}!}}` . 也可以这样考虑:设 `{n_1}` 个相同元素为 `{a_1}` , `{n_2}` 个相同元素为 `{a_2}` ,..., `{n_r}` 个相同元素为 `{a_r}` ,先从 `m` 个位置中选出...
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二项式定理

二项式定理 二项式定理: $${(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n-1}}b +  \cdots  + C_n^r{a^{n - r}}{b^r} +  \cdots  + C_n^n{b^n}(n \in {N^ * })$$ 二项式定理的特点和性质: ⑴ `{(a + b)^n}`的展开式的各项都是 `n` 次式,即展开式应有下面形式的各项: `a^n,a^{n-1}b,…,a^{n-r}b^r,…,b^n`, ⑵展开式各项的系数: 每个都不取 `b` 的情况有 `1` 种,即 `C_n^0` 种,`a^n` 的系数是 `C_n^0`; 恰有 `1` 个取 `b` 的情况有 `C_n^r` 种, `{a^n}b`的系数是 `C_n^1`,……, 恰有 `r` 个取 `b` 的情况有 `C_n^r` 种, `{a^{n - r}}{b^r}` 的系数是 `C_n^r`,……, 有 `n` 都取 `b` 的情况有 `C_n^n` 种, `{b^n}` 的系数是 `C_n^n`, ∴`{(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^...
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计数原理

分类加法计数原理 分类加法计数原理:  做一件事情,完成它可以有 `n` 类办法,在第一类办法中有 `m_1` 种不同的方法,在第二类办法中有 `m_2` 种不同的方法,……,在第 `n` 类办法中有 `m_n` 种不同的方法, 那么完成这件事共有 `N=m_1+m_2+ \cdots +m_n` 种不同的方法. 分步乘法计数原理 分步乘法计数原理: 做一件事情,完成它需要分成 `n` 个步骤,做第一步有 `m_1` 种不同的方法,做第二步有 `m_2` 种不同的方法,……,做第 `n` 步有 `m_n` 种不同的方法,那么完成这件事有 `N=m_1×m_2× \cdots × m_n` 种不同的方法.
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基础自测

计数原理

`a,b,c,d,e`共`5`个人,从中选`1`名组长`1`名副组长,但`a`不能当副组长,不同的选法总数是( ) A. `20` 选择错误. B. `16` 选择正确. C. `10` 选择错误. D. `6` 选择错误.
基础自测

高中数学课程

174.二项展开式的系数和问题

思路提示 有关系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果,重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法,这里就需要读者根据题目结合已知条件进行赋值.
高中数学课程

173.二项展开式通项的应用

思路提示 二项展开式的通项从微观角度反映了二项展开式的全貌,是展开式的缩影,它可以用于求二项展开式的任意指定项及其系数等.
高中数学课程

172.二项式定理展开式的应用

思路提示 对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点,更重要的是要理解等式两边的关系,右边是左边 `n` 个因式 `a+b` 积的结果,而左边是右边各项和的结果,这就为此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思路.
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162.排列数与组合数的推导、化简和计算

思路提示 尽量用性质计算;推导、证明和化简约分用阶乘形式,计算用乘积形式.
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161.分类计数原理与分步计数原理

思路提示 要明确完成一件事所包含的内容是如何进行的,若需分类按加法数原理,若需分步按乘法计数原理.分类时要做到“不重不漏”,分步时要做到“步骤完整”.有些计数问题既需要分类,又需要分步,此时要综合运用两个原理.
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数学题库

组合

3. 从 $4$ 名男生和 $3$ 名女生中选出 $4$ 人参加某个座谈会, 若这 $4$ 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有 (   ) A. $140$ 种 B. $120$ 种 C. $35$ 种 D. $34$ 种
数学题库

计数原理

4. 在 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 的展开式中, 含 $x^4$ 的项的系数是 (    ) A. $-15$ B. $85$ C. $-120$ D. $274$
数学题库

高中数学

4. 二项式 $(x+\dfrac{1}{x})^6$ 的展开式中常数项的值为 _____________ .
数学题库

5二项式定理

5.在`{(1 + x)^6}{(1 + y)^4}`的展开式中,记`{x^m}{y^n}`项的系数为`f(m,n)`,则`f(3,0) + f(2,1) + ``f(1,2) + f(0,3) = `(   ) A.45 B.60 C.120 D.210
数学题库

计数

5. 某地政府召集 $5$ 家企业的负责人开会, 已知甲企业有 $2$ 人到会, 其余 $4$ 家企业各有 $1$ 人到会, 会上有 $3$ 人发言, 则这 $3$ 人来自 $3$ 家不同企业的可能情况的种数为 A. $14$ B. $16$ C. $20$ D. $48$
数学题库

整除

5. 设 $a\in\mathbf{Z}$, 且 $0\leq a< 13$, 若 $51^{2012}+a$ 能被 $13$ 整除, 则 $a=$ (    ) A. $0$ B. $1$ C. $11$ D. $12$
数学题库

7计数

7. 有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有(    ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
数学题库

二项式定理

7. $(2x+\sqrt{x})^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数是 A. $6$ B. $12$ C. $24$ D. $48$
数学题库

8.计数

8.设集合 `A=\{ ({x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5})|{x_i} \in \{  - 1,0,1\} ,i = 1,2,3,4,5\}`, 那么集合 `A` 中的满足条件“`1≤\left| {{x_1}} \right|+\left| {{x_2}} \right|+\left| {{x_3}} \right|+\left| {{x_4}} \right|+\left| {{x_5}} \right|≤3`”的元素个数为(   ) A.60 B.90 C.120 D.130
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