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函数的应用

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函数与方程

函数的零点 对于函数`y = f\left( x \right)`,我们把使`f\left( x \right) = 0`的实数`x`叫做函数`y = f\left( x \right)`的零点. 方程的根与函数零点的关系 方程`f\left( x \right) = 0`有实数根` \Leftrightarrow `函数`y = f\left( x \right)`的图像与`x`轴有公共点` \Leftrightarrow `函数`y = f\left( x \right)`有零点. 零点存在性定理 如果函数`y = f\left( x \right)`在区间`\left[ {a,b} \right]`上的图像是连续不断的一条曲线,并且有`f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0` ,那么函数`y = f\left( x \right)`在区间`\left( {a,b} \right)`内有零点,即存在`c \in \left( {a,b} \right)`,使得`f\left( c \right) = 0,c`也就...
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函数的应用

函数的应用主要有两个方面 1.结合函数的图像和性质研究函数的零点,用二分法求函数零点的近似值或求相应方程的近似解,从中体会函数与方程之间的联系; 2.通过一些实例感受建立函数模型的过程和方法,初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题.
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基础自测

函数应用

已知 唯一的零点在区间 `(1,3)`、`(1,4)` 、`(1,5)` 内,那么下面命题错误的( ) A. 函数 `f(x)` 在`(1,2)` 或 `[2,3)`内有零点 选择错误. B. 函数 `f(x)`在 `(3,5)`内无零点 选择错误. C. 函数 `f(x)`在 `(2,5)`内有零点 选择正确. D. 函数 `f(x)`在 `(2,4)`内不一定有零点 选择错误.
基础自测

高中数学课程

38.函数中的创新题

思路提示 紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解,将其转化为已有的认知结构,然后利用函数性质解题.
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37.函数与不等式的综合

思路提示 不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态,常量转化为变量,这体现了函数思想,并能用函数的图像及性质解答.
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36.函数与数列的综合

思路提示 利用函数与数列知识的相互联系、相似性质: 1.抽象函数的关系与数列递推关系式类似. 2.函数单调性与数列单调性的相似性. 3.数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数,利用函数的性质证明不等式,因此解决数列问题可转化为函数问题,用函数的知识或方法解决.
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35.方程根的个数与函数零点的存在性问题

思路提示 方程的根或函数零点的存在性问题,可以依据区间端点处函数值的正负来确定,但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性,若在给定区间上是单调的,则至多有一个零点;如果不是单调的,可继续分出小的区间,再类似做出判断.
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34.利用函数的零点确定参数的取值范围

思路提示:本类问题应细致观察、分析图像,利用函数的零点及其他相关性质,建立参数关系,列关于参数的不等式,解不等式,从而获解.
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33.求函数的零点或零点所在区间

思路提示  求函数`f\left( x \right)`零点的方法: 1.代数法,即求方程`f\left( x \right) = 0`的实根,适合于宜因式分解的多项式; 2.几何法,即利用函数`y = f\left( x \right)`的图像和性质找出零点,适合于宜作图的基本初等函数.
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数学题库

函数的零点问题

2.函数 `f(x)=2^x|\log_{0.5}x|-1` 的零点个数为 (    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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函数应用

8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 `p` 与加工时间 `t`(单位:分钟)满足的函数关系 $p = a{t^2} + bt + c$ (`a`、`b`、`c` 是常数),下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(    ) A. $3.50$ 分钟 B. $3.75$ 分钟  C. $4.00$ 分钟  D. $4.25$ 分钟
数学题库

9.最小值

9. 若函数 `f(x) = |x + 1| + |2x + a|` 的最小值为3,则实数 `a` 的值为(  ) A.5或8 B.-1或5 C.-1或-4 D.-4或8
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9.函数

9. 若 $f\left( x \right) = {x^{\frac{2}{3}}} - {x^{ - \;\frac{1}{2}}}$ ,则满足 $f\left( x \right) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是___________.
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9函数应用

9. 如图所示, 单位圆中弧 $\widehat{AB}$ 的长为 $x$, $f(x)$ 表示弧 $\widehat{AB}$ 与弦 $AB$ 所围成的弓形面积的 $2$ 倍, 则函数 $y=f(x)$ 的图象是 (    ) A. B. C. D.
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9.应用题

9. 某公司有 $60$ 万元资金, 计划投资甲、乙两个项目, 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 $\dfrac{2}{3}$ 倍, 且对每个项目的投资不能低于 $5$ 万元. 对项目甲每投资 $1$ 万元可获得 $0.4$ 万元的利润, 对项目乙每投资 $1$ 万元可获得 $0.6$ 万元的利润, 该公司正确规划投资后, 在这两个项目上共可获得的最大利润为 A. $36$ 万元 B. $31.2$ 万元 C. $30.4$ 万元 D. $24$ 万元
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函数应用

19. 制定投资计划时, 不仅要考虑可能获得的盈利, 而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲, 乙两个项目. 根据预测, 甲, 乙项目可能的最大盈利率分别为 $100\%$ 和 $50\%$, 可能的最大亏损分别为 $30\%$ 和 $10\%$. 投资人计划投资金额不超过 $10$ 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 $1.8$ 万元. 问投资人对甲, 乙两个项目各投资多少万元, 才能使可能的盈利最大?
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21函数

21. 已知函数 `f\left( x \right) = {x^3} + 3|x - a|(a > 0)`,若\(f(x)\)在\([ - 1,1]\)上的最小值记为\(g(a)\). (1)求\(g(a)\); (2)证明:当\(x \in [ - 1,1]\)时,恒有\(f(x) \le g(a) + 4\)
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函数应用

21. 设计一幅宣传画, 要求画面面积为 $4840~\mathrm{cm ^2}$, 画面的宽与高的比为 $\lambda~(\lambda < 1)$, 画面的上、下各留 $8~\mathrm{cm}$ 空白, 左、右各留 $5~\mathrm{cm}$ 空白. 怎样确定画面的高与宽尺寸, 能使宣传画所用纸张面积最小?
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函数应用

21. 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 $1$ 万元/辆, 出厂价为 $1.2$ 万元/辆, 年销售量为 $1000$ 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比例为 $x ~(0 < x < 1)$, 则出厂价相应提高的比例为 $0.75x$, 同时预计年销售量增加的比例为 $0.6x$. 已知年利润 $=$ (出厂价 $-$ 投入成本) $\times$ 年销售量.  (1) 写出本年度预计的年利润 $y$ 与投入成本增加的比例 $x$ 的关系式;  (2) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 $x$ 应在什么范围内?
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函数应用

21. 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 $1$ 万元/辆, 出厂价为 $1.2$ 万元/辆, 年销售量为 $1000$ 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比例为 $x~(0< x< 1)$, 则出厂价相应提高的比例为 $0.75x$, 同时预计年销售量增加的比例为 $0.6x$. 已知年利润 $=$ (出厂价 $-$ 投入成本) $\times$ 年销售量.   (1) 写出本年度预计的年利润 $y$ 与投入成本增加的比例 $x$ 的关系式;  (2) 为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 $x$ 应在什么范围内?
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