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不等式

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不等式恒成立问题

不等式恒成立问题 (1)如果能分离参数,则`f(x) > m`恒成立` \Leftrightarrow f{(x)_{\min }} > m`;`f(x) < m`恒成立` \Leftrightarrow f{(x)_{\max }} < m`. (2)若通过恒等变形不等直接解出参数,则可将两变量分别置于不等式的两边,即若`f(a) \ge g(x)`恒成立,只需求出   `g{(x)_{\max }}`,则`f(a) \ge g{(x)_{max}}`,然后解不等式求出参数 `a`的取值范围; 若`f(a) \le g(x)`恒成立,只需求出`g{(x)_{\min }}`,则`f(a) \le g{(x)_{min}}`然后解不等式求出参数`a`的取值范围.
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一元二次不等式

一元二次不等式 一元二次不等式的定义:只含一个未知数,并且未知数的最高次数为2的不等式. 一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系    `\Delta  > 0`  `\Delta  = 0`  `\Delta  < 0` 二次函数 `y=ax^2+bx+c` `(a > 0)`的图象 一元二次方程 `ax^2+bx+c=0` `(a \neq 0)` 有两相异实根 `{x_1},{\rm{ }}{x_2}{\rm{ }}({x_1} < {x_2})` 有两相等实根 `{x_1} = {x_2} =  - \frac{b}{{2a}}` 无实根 `ax^2+bx+c>0``(a > 0)`的解集 `\left\{ {x|x < {x_1},~或~ x > {x_2}} \right\}` `\left\{x|x \neq -\frac{b}{2a} \right\}` `R` `ax^2+bx+c<0``(a > 0)`的解集 `\left\{...
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绝对值不等式

绝对值不等式 定理1 如果 `a,~b` 是实数, 则 `\left| a+b \right| \leqslant \left| a \right|+\left| b \right| `, 当且仅当 `ab \geqslant 0` 时, 等号成立. `\left| a \right|-\left| b \right| \leqslant \left| a+b \right| \leqslant \left| a \right|+\left| b \right| `; `\left| a \right|-\left| b \right|\leqslant\left| a-b \right|\leqslant \left| a \right|+\left| b \right| `; 定理2 如 果 `a,~b,~c` 是实数, 则 `\left| a-c \right| \leqslant \left| a-b \right|+\left| b-c \right| `, 当且仅当 `(a-b)(b-c) \geqslant 0` 时, 等号成立. 绝对值不等式的解法 一般的, 如果...
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基本不等式

基本不等式 定理1 (均值不等式)如果 `a,~b\in R`, 那么 `a^2+b^2 \geqslant 2ab`, 当且仅当 `a=b` 时, 等号成立. 定理2 (基本不等式) 如果 `a,~b>0`, 那么 `\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}`, 当且仅当 `a=b` 时, 等号成立. 如果 `a,~b` 都是正数, 我们就称 `\frac{a+b}{2}` 为 `a, b` 的算术平均, `\sqrt{ab}` 为 `a,~b` 的几何平均.  即 两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 定理3 (基本不等式) 如果 `a,~b,~c \in R_+`, 那么 `\frac{a+b+c}{3} \geqslant \sqrt[3]{abc}`, 当且仅当 `a=b=c` 时, 等号成立. 即 三个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 均值不等式 知识扩展: 设`{a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}`是`n`个正实数,记 `{Q_n} = \sqrt {\frac{{{a_1}^2...
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简单线性规划

简单线性规划 二元一次不等式:  含有两个未知数,  并且未知数的次数是1的不等式. 线性约束条件(可行域):  几个一次不等式构成一个不等式组,  几个不等式表示的平面区域的公共部分即它们的交集, 称为对变量 `x、y` 的线性约束条件,  又叫可行域. 目标函数: 指所关心的目标(某一变量)与相关的因素(某些变量)的函数关系. 简单的说,就是你求解后所得出的那个函数。在求解前函数是未知的,按照你的思路将已知条件利用起来,去求解未知量的函数关系式,即为目标函数. 一般目标函数表示成 `z=Dx+Ey` 的形式. 线性规划问题: 在一次不等式组表示平面区域内的 `x、y`, 即线性约束条件下, 求目标函数的最值问题, 即线性规划问题. 解决线性规划问题的一般步骤: (1)根据已知条件列出含 `x、y` 的不等式组; (2)作出不等式组表示的平面区域, 即可行域; (3)作出直线系 `z=Dx+Ey` , 在可行域内找出 `z` 的最值, 根据题的要求条件找出标准解. 
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排序不等式

排序不等式 定理 (排序不等式 sequence inequality, 又称排序原理) 设 `a_1 \leqslant a_2 \cdots \leqslant a_n,~~b_1 \leqslant b_2 \cdots  \leqslant b_n` 为两组实数, `c_1,~c_2,\cdots,~c_n` 是 `b_1,~b_2,\cdots,~b_n` 的任一排列, 则 $$a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots +a_nb_1\leqslant a_1c_1+a_2c_2+\cdots +a_nc_n \leqslant a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n,$$ 当且仅当 `a_1=a_2=\cdots=a_2` 或 `b_1=b_2=\cdots=b_n` 时, 反序和等于顺序和. 排序不等式的证明 设有两组数 `{a_1},{a_2}, \cdot  \cdot  \cdot ,{a_n};{b_1},{b_2}, \cdot  \cdot  \cdot ,{b_n}` ,满足 `{a_1} \le {a_2} \le  \cdo...
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柯西不等式

柯西不等式(Cauchy inequality) 定理1 (二维形式的柯西不等式) 若 `a,~b,~c,~d`都是实数, 则$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geqslant (ac+bd)^2~,$$ 当且仅当 `ad=bc` 时,等号成立. 由定理1易证得 $$\sqrt{a^2+b^2}·\sqrt{c^2+d^2}\geqslant\left|ac+bd\right|,$$ $$\sqrt{a^2+b^2}·\sqrt{c^2+d^2}\geqslant\left|ac\right|+\left|bd\right|.$$ 定理2 (柯西不等式的向量形式) 若 `\vec{\alpha},~\vec{\beta}` 是两个向量, 则 $$\left|\vec{\alpha}·\vec{\beta}\right|\leqslant \left|\vec{\alpha}\right| \left| \vec{\beta}\right|~,$$当且仅当 `\vec{\beta}` 是零向量, 或存在实数 `k` , 使 `\vec{\alpha}=k\vec{\beta}...
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数学归纳法证明不等式

数学归纳法 在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤: (1)证明 `n=1` 时命题成立; (2)证明:如果 `n=k` 时命题成立,那么 `n=k+1` 时命题也成立. 我们有(1)(2)作依据,根据(1),知 `n=1` 时命题成立,再根据(2)知 `n=2` 时命题成立,再依据(2)知 `n=3` 时命题成立,这样延续下去,就可以知道对任何正整数 `n` 命题成立,这种证明方法叫做数学归纳法. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是: (1)证明当 `n=1` 取第一个值 `n_0`(例如 `n_0=1, `或 `2` 等)时结论正确; (2)假设当 `n=k~(k\in N^*, 且 k\ge n_0)` 时结论正确,证明当 `n=k+1` 时结论正确. 在完成这两个步骤后,可以判定命题对于从开始的所有正整数 `n` 都正确. 贝努利不等式 我们称不等式 `(1+x)^n\ge 1+nx~~(x>-1)` 为贝努利不等式. 可以用数学归纳法证明贝努利不等式.
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不等式

初中部分 不等式相关概念 (1)定义: 用不等号表示不等关系的式子叫不等式. (2)五种不等号 ①"`\neq`"读作"不等于", 它说明两个量之间的关系是不等的, 但不能表明大小; ②"`>`"读作"大于", 表示左边的量比右边的量大; ③"`<`"读作"小于", 表示左边的量比右边的量小; ④"`\geqslant`"读作"大于等于", 表示左边的量大于或等于右边的量, 也说成是"不小于"; ⑤"`\leqslant`"读作"小于等于", 表示左边的量小于或等于右边的量, 也说成是"不大于"; 不等式基本性质 基本性质1: 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等号不发生改变; 基本性质2: 不等式两边都乘(或除以)同一个正数, 不等号不发生改变; 基本性质3: 不等式两边都乘(或除以)同一个负数, 不等号方向改变. 不等式的解集 (1)不等式的解: 对于一个含有未知数的不等式, 任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫这个不等式的解; (2)不等式的解集: 对一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫这个不等式的解集. 用数轴表示不等式的解...
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基础自测

不等式

不等式`\frac{3x-1}{2-x}\geqslant 1`的解集是( ) A. `\left \{x|\frac{3}{4}\leqslant x \leqslant 2\right \}` 选择错误. B. `\left \{ x|\frac{3}{4}\leqslant x < 2\right \}` 选择正确. C. `\left \{ x|x>2 或 x \leqslant \frac{3}{4} \right \}` 选择错误. D. `\left \{ x|x < 2 \right \}` 选择错误.
基础自测

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放缩法

 所谓放缩法,要证明不等式A<B成立,有时可以将它的一边放大或缩小,寻找一个中间量,如将A放大成C,即A<C,后证C<B,这种证法便称为放缩法。其主要的理论依据是主要理论依据 (1)不等式的传递性; (2)等量加不等量为不等量; (3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较。
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高中数学课程

89.比较数(式)的大小与比较法证明不等式

比较数(式)的大小与比较法证明不等式
高中数学课程

88.不等式的性质

思路提示 应用不等式的基本性质,不能忽视其性质成立的条件,解题时要做到言必有据,特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时,有时可用特殊值验证法,以提高解题的效率.
高中数学课程

数学题库

1.不等式组

1. 不等式组 $\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-1<0}\\{{x^2}-3x<0}\end{array}}\right.$ 的解集 (     ). A. $\{x|-1< x<1\}$ B. $\{x|0< x<3\}$ C. $\{x|0< x<1\}$ D. $\{x|-1< x<3\}$
数学题库

1.绝对值不等式

1. 不等式 $|x-1| < 1$ 的解集是                 .
数学题库

1.绝对值不等式

1. 不等式 $|x-1| < 1$ 的解集是                 .
数学题库

不等式

2. “$x < -1$”是“$x^2-1 > 0$”的 (    ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
数学题库

3不等式组

3. 不等式组 `\left\{ \begin{array}{l} x(x + 2) > 0,\\ |x| < 1 \end{array} \right.` 的解集为(   )                                          A.`\{ x| - 2 < x <  - 1\}` B.`\{ x| - 1 < x < 0\}` C.`\{ x|0 < x < 1\}` D.`\{ x|x > 1\} `
数学题库

3.不等式解集

3. 不等式 $(1+x)(1-|x|)>0$ 的解集是 (     ) . A. $\{x|0\leq x<1\}$ B. $\{x|x<0$ 且 $x\neq-1\}$ C. $\{x|-1< x<1\}$ D. $\{x|x<1$ 且 $x\neq-1\}$
数学题库

高中数学

3. 已知变量 $x、y$ 满足条件 $\begin{cases} x\geq 1, \\ x-y \leq 0, \\ x+2y-9\leq 0, \end{cases}$ 则 $x+y$ 的最大值是 (     ) A. $2$ B. $5$ C. $6$ D. $8$
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