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为什么不能用极限的方法定义概率

一、什么是极限的唯一性

“现代分析学之父”魏尔斯特拉斯用精确地“ε—δ语言”定义了极限(我们这里只讨论函数)概念:

任意给定一个正数ε,都存在一个正数δ;当存在区间

 `|x-x_0|<δ`时

`x`都满足 `|f(x)-f(x_0)|<ε`,

如果令 `f(x_0)=A`,则A称为“当 `x` 趋近于 `X_0` 时的极限”。

记做,`\begin{matrix} \lim_{x \to x_0}x_n \end{matrix}=A`

从此,现代分析学的严密性才算告一段落,数学家们也顺利的度过了“第二次数学危机”。我们这里不打算深入讨论“极限”的其他方面,只需要给大家指出:

“极限值A具有唯一性”,你也可以理解为:只要自变xX0靠得越近,函数值 `f(x)` 就越靠近唯一的 `A`,这个动态过程是“单一指向过程”。

二、随机事件的“涨落”现象

概率与传统数学有个不同处,就是“用概率研究随机事件是建立在实验(包括思想实验)的基础上,是人类的经验感受”。这也是争论“概率论是不是数学”的根源。

我们抛一枚硬币,“正”、“反”面概率各是0.5,这是一个实验经验(区别于数学公设规定和演绎推论);而且,试验次数越多(试验样本越大)单面出现次数与总抛投次数之比就越接近0.5。

注意:“试验样本”不是“样本空间”,很多人容易搞混,如有个叫奥卡姆剃刀的先生。

但也存在这样的可能性:前5000次抛投正面出现的概率是0.500002,看来是我们预期效果(真有很多数学家做了这个实验!),到6000次时,正面出现的概率是0.50000017,接近的更好了!

突然,从第6000次以后连续出了200个“正”!(虽然可能性很小但理论上会发生)使这个“不断趋近于0.5的过程出现了曲折”。

虽然,我们还坚信(概率就是置信度)随着试验样本的继续增大正反面出现的概率总是靠近0.5,但谁也不能保证不出现意外,虽然“意外”的可能性微乎其微。实际上经过大样本试验真正出现精确的概率0.5可能性也是微乎其微。这就是“随机事件概率的涨落现象”,它总随着试验而摆动(有时摆动幅度甚至会很大)而不会固定下来,不论你试验多少次!

涨落现象是物理学家麦克斯韦和波尔茨曼根据统计力学提出的,他很好的回答了“随机事件随着试验样本的增加会趋近于某个概率,但不是单向趋近,不保证在某试验中出现意外。”

所以,不能用 `\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}\frac{N}{n} \end{matrix}=A` 来定义极限,因为与极限的唯一性相冲突,(N某随机事件发生次数,n总试验次数,A随机事件发生概率)。

“概率”我们经常挂在嘴边的词,至今没有一个数学意义上严密的定义,数学上现在用的比较多的是从“集合论”和“测度论”方面给与的定义,但也有不满处。不过这也没啥 ,不能定义不妨碍我们研究,就好比我们不能精确定义“人”也不耽误我们研究人类行为模式一样。

很多概率教科书和参考书上在说明这个问题时语言晦涩,使人不能很好理解,笔者也困惑了很久,只是最近在看统计力学时被突然启发。学习中间出现老师和教科书不能很好解答的困惑是正常的,只要把问题留在心里,经常提一提,说不定在某个不经意的时候骤然所得。——做个有心人!

算是给大一新生或者其他像我一样的学习者提个醒。

来源: http://www.scipark.net/archives/2775