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关于`a^n+b^n`和`a^n-b^n`的因式分解

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以下分解都在实数范围内.

1. 分解 `a^n-1`

`a^n-1=(a-1)·[1+a+a²+a³+...+a^{(n-1)}]`

简单说明:

设: `1+a+a²+a³+...+a^{(n-1)}=m` ---------(1)

两边同时乘 `a` 得: `a+a²+a³+a^4+...+a^n=a·m` ---------(2)

(2)-(1)式得: `a^n-1=am-m=(a-1)·m =(a-1)·[1+a+a²+a³+...+a^{(n-1)}]`

2. 分解 `a^n-b^n`

方法一: 添项法

`a^n-b^n=a^n-a^{n-1}b+a^{n-1}b-a^{n-2}b^2+a^{n-2}b^2-\cdots +ab^{n-1}-b^n`

`=a^{n-1}(a-b)+a^{n-2}(a-b)+\cdots +b^{n-1}(a-b)`

`=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})`

方法二: 等比数列

`a^n-b^n` 这个类型与等比数列的求和公式有极大联系.

首项为 `m`, 公比为 `q`, 一共 `n` 项的等比数列和是: `\frac{m(1-q^n)}{1-q}` ,

不妨令 `q=\frac{b}{a},m=1`.

即有:

`1+\frac{b}{a}+(\frac{b}{a})^2+\cdots+(\frac{b}{a})^{n-1}=\dfrac{1-(\frac{b}{a})^n}{1-\frac{b}{a}}=\dfrac{a^n-b^n}{a^{n-1}(a-b)}`

变形即有:

`a^n-b^n=a^{n-1}(a-b)(1+\frac{b}{a}+(\frac{b}{a})^2+\cdots+ (\frac{b}{a})^{n-1})`

`=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})`

3.关于 `a^n+b^n`

(1) `a^n+b^n` 在 `n=2k+1` 时能分解为:

`(a+b)·[a^{2k}-a^{(2k-1)}·b+a^{(2k-2)}·b^2-…+a^2·b^{(2k-2)}-a·b^{(2k-1)}+b^{2k}] `

(2) `a^n+b^n` 在 `n=2k` 时无法在实数域内分解.

4.总结

对任意一正整数 `n` 及整数 `a,b`, 总有 `a-b|a^n-b^n ~(a\neq b)` 成立.

推论1: 当 `n` 为正奇数时, 有 `a+b|a^n+b^n`.

这是因为 `a-(-b)|a^n-(-b)^n`,而 `n` 是正奇数, 所以 `(-b)^n=-b^n`, 即 `a+b|a^n+b^n`.

而当 `n` 为偶数时, `(-b)^n=b^n`, 即 `a+b\nmid  a^n+b^n`.

推论2: 当 `n` 为正偶数时, 有 `a+b|a^n-b^n`.