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幼小阶段数学教育的真功夫 整理版

幼小阶段是指,幼儿园和小学低年级阶段,据科学家传记,很多人是在11岁之后,才开始对数学有严肃的兴趣的,即,开始踏上理性思维的征程。
但是,幼小阶段有幼小阶段的理性思维,不是没有,是表现形式跟11岁之后不太一样而已。

最基本的现象是,幼小阶段的理性思维精神,并不是完全通过数学课程表现的,相反,历史课程、地理课程乃至人文课程包含了大量的理性思维的要素,完全是这个阶段的孩子所能理解和吸收的。

数学包含了很多“逻辑”方面的元素,但是孩子最早接触“逻辑”,其实并不是从数学开始,是从“家庭教育规则”开始的。

家庭教育乃至学校教育中体现出来的规则,不就是“逻辑”么,孩子锻炼逻辑推理能力的过程,实际上就蕴含在这些日常生活的实践之中。

幼教规则,不仅仅是让孩子们懂得做人的道理,更是孩子们最早接触到的“逻辑”训练,懂得做事的道理。

如果幼教规则不当,将会打击到孩子的逻辑推理能力的成长,所以,孩子逻辑能力不好,不一定是数学没学好,不一定是数学课程、数学老师出了问题,很可能源于家庭教育规则、学校教育规则方面的负面影响。

这方面的内容,将会放在另外一篇文章“同理心的因和果”中,这里先行略过。

幼小阶段的数学教育,因此不要希望把理性思维训练的内容大包大揽,那些更为深入,更能体现理性思维的数学内容,完全可以等到孩子11岁之后再开始练习。

那么,这方面放手了,幼小阶段数学教育又应该重视什么方面的内容呢,只有“真功夫”、“硬功夫”,才值得教师/家长/孩子们真正投入。

我在晨兴中心数学高手们的环境中熏染过多年,根据自己在数学研究上的跋涉经验和对这些数学高手们的观察,将这种认识往回推,推到幼小教育阶段,认识到幼小阶段数学教育的真功夫,在于:

A1. 对数学的集中注意力,以此基础最终发展成良好的自学习惯。

A2. 对数学的敏感度,即知道哪里不懂的能力,以此基础最终发展成坚韧的探索精神。

说穿了,其实就是“态度建设”,“态度建设”是幼小教育的核心内容,A1和A2则是刻画了“态度建设”在幼小阶段数学教育方面的具体内涵。

数学,恐怕是对集中注意力要求最高的一个学科,另外一个,可能是古典音乐。

为什么说,这个是“硬功夫”呢,因为用这个标准来看,世界上很多成年人,终其一生从未跨进过数学的门槛。

有些数学上早慧的天才,儿童时候最重要的表现,并不在于比别人早学会数数,早学会加减乘除,而是在于他们对数学的集中注意力的量和质,是很多成年人终其一生也未达到的,这还不够“硬”吗。

早慧儿童的家长们,应该考虑到这一点,要想的长远一些,要少做“横向比较”,即少跟同龄孩子去比,多做“纵向比较”,即在纵向的时间尺度上,预估孩子长大之后的各阶段表现,跟人类历史上积累下的经验去比较。

普通家长们,容易理解A1的重要性,但是不易认识到自己孩子的A1-集中注意力,在数学上的难得,对其珍贵属性,没有充分的意识。人生路途上遇到珍宝,狂喜失态自然不对,但是碰巧拿到珍宝,有眼不识,随手一放,最后自己也忘了,想拿的时候找不出来,更是不对。

早慧儿童,对数学产生出超常的集中注意力,原因有很多种,有些可能像黄金,历久不败,有些则可能像流星,一闪而过。

相反,有些孩子虽然发育的晚一些,但只要他们踏入了数学的这个门槛,终生走下去,得到真金,反而比流星式早慧的成就要大得多。

是流星,还是黄金,我在晨兴中心那些环境下见到的数学高手们自然属于后者。

但孩子小的时候,谁又能看出来呢,这方面原因很复杂,有成功的,有失败的。

失手放过孩子流星式的闪光,或者漠视孩子黄金式的执著,只重视知识,只注重“横向比较”,不重视“态度建设”,不重视“纵向比较”,可能是后者的一个重要原因。

相反,家长们如果能实施良善的教育方式,重视“态度建设”,也许能让流星不灭,让黄金不致埋没于土,将孩子对数学的这种集中注意力,一直保存巩固下来。

我们一会儿再谈,如何来做。现在再说 A2-数学敏感度,即知道哪里不懂的能力。

孩子笨,见了题目,说自己不知道,不仅是诚实,这种孩子可教。相反的一些孩子,见了题目,随口说出答案,乱猜乱答,违反A2,缺少了数学敏感度,就很难教他们真正学会一个东西。

这个观念,也是普通家长们容易忽略过去的,他们往往急于给孩子提供答案,结果养成孩子见了题目,就乱凑数的习惯。

其实,不仅是家长们,很多专门做教育培训的商业机构,本质上也是违反了A2-数学敏感度原则,他们在周末举办奥数培训班,采用大容量授课的方式,那么难的题,在我看来,孩子能用一个学期做出来就非常不错了,这样的题却要在3个小时中讲出10道左右。

知识是囫囵吞枣地灌下去了,美其名曰,虽然没学会,但是扩大了知识面,混个脸熟。

幼小阶段的数学教育,不能这么搞,它打掉的是孩子的数学敏感度,当然,注意力在那种授课方式中恐怕也难以长进。

我现在为什么这么关注幼小教育呢,就是自己有了孩子,认识到学校在当今情况下很难提供满意的服务,将来肯定得靠校外培训,可是校外培训机构都是如此商业化操作,孩子是自己的,我只能为了孩子,将自己多年所学,倒推回去,为他们重新设立架构。

确定了A1和A2的原则和重要地位之后,我们再来谈怎么做,其中的教学原则,跟普遍的幼教原则基本一致,这里复述一下:

B1. 孩子是通过模仿来学习的。

B2. 孩子是通过操练来思考的。

B3. 教育要符合孩子的身心成长节奏。

把上面两条中“学习”和“思考”的位置对换,也是对的,自然语言只能达到一定程度的指示性,让人意会到了即可,我们就不咬文嚼字了。

C1. 孩子提出数学问题时怎么办?

C1-a. 我们希望孩子们在“态度建设”上进步,那么我们就要遵循B1-模仿的原则,自己首先做到对数学的那种“求索”态度。

依此之见,孩子有数学问题了,问大人,大人立刻随口答出,就会看不到这个过程。相反,如果孩子问数学问题的时候,大人假装自己也不是很清楚,露出迷惑不解,苦苦思考的眼神,跟孩子对视,就能将孩子对数学未知的注意力,延长那么一会会儿,很多情况下,这么一会会儿的功夫,孩子就自己把答案说出来了。

这种做法,练习的就是孩子的态度,通过大人示范,让孩子模仿的不是知识,而是那种神情和态度。

这样做,使得A1-集中注意力和A2-数学敏感度同时受益,一箭双雕。

所以,我们不要替代孩子们解答问题,不要急于从逻辑理智上去帮他们解决问题,而是以身作则,让他们模仿,模仿我们面对数学难题时,困惑不解、钻研不休的那种神态/心态。

数学上的东西,跟其他教育原理一样,重点不一定在于内容,更在于“心意”,全凭“心意”练功夫。如果不激发起孩子的求知欲,什么样的“辅导性方法”都是白搭的。

C1-b. 家长宽容,不逼孩子,就是不逼他们搞形式主义,搞面子工程。

孩子能学会数学,是本性具足,我们不会试图去教一个大猩猩学数学。孩子若挂心于数学,注意力集中,完全有可能靠天性突破,家长横加干涉,反而有可能打乱了孩子的自然节奏。

教师和家长们甚至可以为此降低数学内容的难度,不要过难,难得大学生都想不出来(很多小学奥数题目是这样的),那对孩子当然不好了。

只要孩子愿意做简单的题,只要他不厌,就让他继续做,而不是马上跳到更难的题目阶段,急于求成的家长实际上是在打扰孩子而不自知,怎么可能在这种情况下保持住对数学的集中注意力和敏感度呢。

对于稍微难一些的题目,当孩子在数学上表现出“笨”的时候,我们最重要的不是给他们答案或解法。家长们最简单、最基本的做法是,承认这种“笨”,容忍这种“笨”,就是承认数学上有未知的东西。急于让孩子知道答案,急于让孩子变聪明,反而有可能降低了孩子在数学上的敏感度。

数学能力,最重要的是发现“未知”,发现自己不会的地方在哪里的能力,一道难题,完全有必要翻来覆去的重复,不断地深入发现自己不会的地方真正在哪里。

C1-c. 如果遇见聪明老师,那就更好了。聪明老师的一个重要教法是,帮助孩子们发现他不知道的“地方”,具体在哪里,如有可能,把它分解为数个小问题。

如果幸遇天才学生,他们自己就能把不会的地方找出来,分解出来,学生有了如此高的敏感度,老师才能往深里教啊。

这种教学方法,怎么指点,就得靠专业知识水平,而不是所谓的教学教法。

C2. 正确对待心算能力,它既是重要的,同时又应该注意培养方式中的互动过程。

     心算能力是重要的,倘若心算不好,什么东西都要算半天,就不可能把精神放在真正的推理上,小孩子性子急啊。一般来说,小孩子在11岁才开始对数学推理有敏感性,数学推理中还是需要大量的算功,之前没有把算功练过去,一个简单的消去法都做得累,还怎么谈后面的推理和理性思维呢。

数学家传记也充分证明了“心算”的重要性,当然也有些特例,但我估计,那些特例之人,当属性子特别平稳扎实,从而仍符合A1-集中注意力原理,又靠天性,在A2-数学敏感度上有卓越的能力。

相比于以前的时代,现在的公立学校和商业培训机构都很难真正花心思在心算训练上面。

公立学校的老师费不起那个时间,哪敢推动孩子们天天练一遍百题计算。商业培训学校呢,这种东西又太简单,这么简单的东西,怎么好卖出价钱呢,奇技淫巧才能有价码。

普通家长们若是能知其理,就不会花钱让孩子走上歧途了,我以前博文中,曾讲述过自己的研究生在北京某教育培训学校(刚在美国Nasdaq上市)任教的经历,我根本不相信那种方法能让孩子们学懂数学,实在不行,还是家长们自己来吧。

所以,学数学应该从心算开始,但是奇技淫巧般的各种速算法和珠心算则不必了,因为实用价值不高,而且容易跟A2-数学敏感度矛盾,很多速算法的原理,孩子未必能真懂。这里,推荐阴山英男的方法:百格计算,相当于中国传统的九九乘法表的变形。

一些“新式”数学教育手法,侧重于对算术的理性解释,甚至因此否定心算的重要性。

一些现代心理学实验已经发现,算术的基本概念,被证明天然地存在于孩子的头脑里,至于抽象化的思维方式,也在不少敏感的孩子身上自发地表露。

我们之所以能教会孩子数学,是因为他们天性具足,我们不会试图去教一个猩猩学数学的。

因此,所谓的理性解释,老师所需要做的,最多只不过是把孩子们天生的算术认知习得,对应于公认的数学表达符号而已。

我孩子,自己就知道1和1是2,我所要教他的只是,将“和”换成“+”,“是”换成“=”而已,符号对应而已,并不需要过多的理性解释,或者说理性解释到这个程度就行了,不用上升到所谓哲学的层次。

幼小阶段的数学更像是智力体操,不需要太多的哲学化的理解,搞太多的花样,反而有可能适得其反。

新式教育方法,注重孩子弄懂数学,这当然没什么错,但是道理弄通之后,传统的心算练习,比如数数和背九九表,仍然是必须的,孩子需要大量的操练,只懂道理,不进行操练,就无法巩固孩子继续进步的基础。

新式教育法,不能以己之是,批传统之非。

我们说过,弄懂数学,其实就是让孩子们把人类世界通用的数学符号,跟他们天性中的数学概念,一一对应而已,我们那一代的教育,讲究数学的“双基训练”,将这个程序称之为“弄懂题意”,简单不玄乎。

这方面可以举一些案例,前面的1和1是2,是最简单的,很多案例中,可以使用一些自然的器具,石子,枣核,乃至于自己的手指头。

不管是使用石子,还是使用手指头,背后都蕴含着孩子天生的“推理”能力,通过石子、手指头外化出来而已,大人之所以能够很快地算数,只不过是把这种推理能力,变成公知常识,记下来而已。

等孩子经过大量练习,对这些“推理”非常熟悉之后,他们也会乐于将其变成“公知常识”记下来,那时候自然也就算得快了。

所以,心算训练,要遵循刚才说过的原则,不要求急、求全,不必要强求孩子一下子把九九表全背下来,反而丧失了孩子探索求知,通过操练来思考的机会。

一个孩子,很早就把九九表背诵如流,另一个孩子有点笨,通过大量的玩沙子、玩石子、玩树叶,才把算术学会,最终上学的时候,也能把九九表倒背如流。

试问,这两个孩子,在数学上哪个更有前途,历史经验恐怕会告诉我们是后者。其中的道理有两条:
1. 孩子笨,大人教不会,孩子只能通过玩沙子、石子,自己学会数学,最后不仅学到的是那些数学知识,更是在这个过程中养成了良好的自学习惯和坚韧的探索精神。
2. 我们说,两个孩子在上学的时候,都能把九九表倒背如流,但实际上很可能发生的情况是,前一个聪明孩子,九九表的熟练操练能力,仍然停留在3、4岁的时候,很容易为粗心的大人忽略。后一个笨孩子,因为笨,反而多练习,结果上学以后的心算操练能力,很可能就比那些早慧孩子要高了。
数学在讲究智力体操的一面时,另一面也非常值得注意,即,“创意”。一个孩子的自发心算游戏,其实就可以体现出他们的创意,比如他们会问、会思考:

两个2是多少,两个3是多少。。。两个8是多少,天啊,这不就是乘法吗。

6=3+3=2+4=...=1+2+3=...,要把所有可能的算式都写出来,这不就是数学上著名的Partition(分拆数)问题吗。

家长们要舍得时间,让孩子们在这些创意上,进行练习,普通家长们很可能觉得孩子怎么老做这个简单的事啊,急匆匆地求难度,求全面,其实源于他们自己对数学学问所知甚浅,欣赏力反而不如孩子的直觉反应。

具体的案例,这里就不多说了(博文版里还有几个),其实原理弄懂了,很多案例都非常简单,毕竟是小学数学吗。

这里总结一下,幼小阶段的数学学习,既要注重操练,又要注重创意,二者如果能够结合起来是最好的,很多幼小阶段的数学创意,完全可以从孩子的直觉反应来找,也可以从数学发展的历史中来找。
来源:
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