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对数学理解的初步研究

对数学理解的初步研究

李少保 陈飞莉

    关于数学教学,现今人们普遍认为只有理解才算学好了数学。然而什么是理解?达到了怎样的状况才能视为“理解”?教师在教学中怎样做才能帮助、推动或发展学生理解?

    1.关于数学的理解

    1.1 什么是理解?

    有关资料表明关于对数学“理解”大约有以下几种认识:

    其一,认为会使用知识才能叫做理解。

    其二,学生能用自己的语言来叙述概念或原理时就有了理解。

    其三,也有人将理解划分为一系列水平层次:了解、领会、掌握、熟练应用等。

    我们注意到这些说法都是关注于学生的外在表现,试图通过学生的:外在表现而对其数学知识的理解情况作出判断。当然这些说法都有着相当积极的意义,但对学习者的思想内部究竟发生了什么应该是一种形而上学的推断,而这种推断往往又未必可靠,这是因为在教学实践中常常见到这样的情况:学生“会”用知识解题,但对知识是什么并不明白。比如很多学生一面怀疑数学归纳法原理的科学性,或者说根本不懂数学归纳法原理,一面却可以按照数学归纳法证题步骤准确无误地给出证明。因此仅依赖学生的外在表现所提供的信息有可能是虚假的,这就说明了专注于学生外在表现来对理解情况作判断未必是科学的,因此上面的说法可能有些片面。

    实际上,我们认为认识了数学概念的本质和原理才算是理解,按照认知结构理论,学生学习了一个概念、原理、公式或法则,如果能在其心理上组织起适当的、有效的认知结构,并使之成为个人内部知识网络中的一部分,能比较方便地激活,提取与使用,那才是真正的理解。这就是说我们不仅要关注学生的外在表现,同时更要关注学生思维的内在变化。由此看来,数学理解是极其复杂的。

    1.2 什么是数学概念本质?

    如上所说,认识了数学概念的本质和原理才算是理解,那么数学概念本质的内涵是什么呢?我们认为有四个方面:

    ①数学知识的内在联系;

    ②数学规律的形成过程;

    ⑧数学思想方法的提炼;

    ④数学理性精神的体验.

    1.3 理解的特征

    ①复杂性

    理解不是一件非黑即白、泾渭分明的事,也就是说理解不是全对或全错的结果,任何形式学习都将带有一定程度的理解,只不过是理解程度不同而已。这个观点给我们至少有两点启示:第一,对于当前实施素质教育,推进课程改革有着积极的意义,为看待学生的学习水平提供了新的观念,它促使我们需对日常评价学生数学学习所采用的各种手段与方法重新认识和反思,重点应从结果向过程转移,吸取其合理、有益成分,进行科学的评价,而不是作简单的对和错的判断。第二,数学理解不是绝对的,即绝对的理解大概是不存在的,在理解与不理解之间存在着“灰色地带”。那种设定教学目标所谓“节节清”、“章章清”可能是海市蜃楼。理解的复杂性决定了教学方式的多样性,极端的“发现式”(完全排除教师指导)并不符合学校教育实际;给讲授法扣上“注入式”或“满堂灌”帽子也未必就是公正的;适量的训练并非就是“机械式”,可能伴随着有意义的学习发生.我们应该要特别指出的是:对于同一个概念,不同的人可能有不同的理解,这里的不同可能是理解的深浅不同也有可能是理解的角度不同。

    ②动态性

理解的过程不是线性式发展,而是一个渐进的、曲直的,动态的、呈螺旋式上升的过程,这个过程是充满着同化、顺应、平衡调节的过程。很多概念的理解也不是经过一次、两次教学或训练就能够解决的,甚至还会出现反复的情况,因此要分阶段渐次巩固或提升,使数学理解由知之甚少到知之甚多,由模糊到清晰、由表层到深层。这就要求我们教师在教学中要从整体上合理布局,系统安排,宏观把握,微观切入。

    ⑧广泛性

    南京大学哲学系郑毓信教授对此曾有过深刻的剖析,数学理解广泛性有三个方面的涵义:深度、广度、贯通度。深度是指相关题材与更为基本、更为深刻的数学思想联系;广度是指横向联系的广泛程度;贯通度则是指在所包含的各种成分间迅速转换能力。

    ④发展性

    关于概念无论在教学中还是在教材陈述中,都是按所学的先后次序或逻辑顺序建立结构关系,一些教师也特别重视按演绎推理关系来联系数学概念,但数学概念之间并不是那种“一脉相承”的线性关系,而是“相辅相成”的关系,不能只靠前面的概念来理解后面的概念,后面的概念同样能帮助理解前面的概念,而且能起到深化、提升的作用,后者当予以足够的重视才是。

    2.发展数学理解的实践探索

    2.1数学理解要深入本质

    首先数学教师对数学理解要深入本质,因为只有深入才能浅出,没有人能将自己没有的东西给别人,其实这也是很简单的道理。教师对数学肤浅的理解是课堂教学效益不高的原因之一。很长一段时期内人们常常以教师先前所学过的大学数学课程的多少作为其数学知识的度量,这有其合理性,但这种认识却是不全面的,也是片面的。我们认为更为重要的是个人数学知识良好组织,即是否建立起了相关数学知识的综合的、概念性的、本原性的理解.具备数学知识良好组织的教师其数学基本素质应该是上乘的,但这并不意味着他就是一位好教师,因为深入未必一定能够浅出,他还必须具备把“科学的数学知识”转化为“教育的数学知识’的技能,也就是说要将数学知识经过教学法的加工,使得学生易懂、易理解、易掌握,其实这是数学教师专业化的重要内涵与标志。这需要在长期的教学实践中坚持学习、反思、总结与积累,从而事实上也就说明了数学教学并非一种简单的重复劳动,而是必须依据特定的教学内容、特定的教学对象、特定的教学环境和学生的认知规律、心理规律进行的创造性的专业工作。回忆自己在初为人师的一个时间段内,对学生数学理解的了解基本上是空白,如果说有一点了解的话,那就是对自己做学生时学数学、理解数学的一些感受的回忆,教学设计是以个人的逻辑推断,或者说是以成人之见去布局教学过程,将课本知识呈现形式和顺序视作学生学习的形式和顺序,课堂教学方法基本上是单向灌输的方式。

    ①概念理解实例

    例如“对称”,容易想到的是轴对称、中心对称,对称式等,不错,这些都属于对称,但我们应从更高的层面去理解,数学中所讲的对称应上升为处理问题的一种指导思想,是对客观世界合理性的一种理解,任何一个矛盾都必然存在互相矛盾的两个侧面(即矛的一面和盾的一面),相互矛盾又共存于一个统一体之中。现实生活中“来”和“去”就是一种对称;函数与其反函数是一种对称;数和形也是一种对称;等式两边是对称的,不等式两边也是对称的,但多数学生观察它们时心理表现是不对称的,从而致使解题方法单一,思维容易受阻.产生这种情况原因可能是关注方向单一或者是思维训练方向失衡。比如我们说掌握公式,即意味着从左到右、从右到左及其变形,公式的意义(实际的、几何的),来龙去脉及其蕴涵的数学思想方法都包含于其中。

    ②方法理解实例

    在证明A>B这类不等式时,我们常常把它转化为证明A―B>0,观察这一过程,我们可能会想,为什么一遇到证明A>月就会不假思索地这样做呢?多数老师给出这样一种回答:A>B与A一B>0在逻辑上是等价的。是的,这样的回答没有错,课本上也是这样写的:A>BÛA―B>0。但逻辑上是等价还不足以回答采用后者的理由,其实证明A>B,我们拥有的办法是不多的,然而我们证明A一B>0却拥有丰富的手段,对A―B充分使用代数变形,化为若干个因式乘积或若干个平方和,然后与零作比较,经验告诉我们这样做成功的机会比较大。其中对A一B变形是手段,与零作比较才是本质和目的,人们将此法总结为“求差法”。这个例子表明,第一,人们在思考问题时并不总是徘徊于逻辑形式A>B与A一B>0之间的等价关系,有时需要借助于经验,否则人们的认识就不能有所前进。第二,“科学的数学”需要加工成“教育的数学”,教师的作用更重要地是在这里体现出来的.但“加工”这个过硬的本领绝非一日之功,而是一个长期的理论学习、反思和实践智慧累积的过程,这个过程是教师个人艰苦努力与执着追求的过程,它应贯穿着教师的整个职业生涯。

    2.2 数学理解要寻求“固着点”

    “影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么”(邵瑞珍).这里的“什么”大多就是与新概念建立联系的“固着点”,例如学生常常在我们称为“教学难点”地方出错,仔细分析一下就会发现,这种情况常常发生在教学过程中知识的不连续处,或者是特殊知识系列的起点处,例如算术与代数、数系扩充、数字与字母、平面与空间、常量与变量、有限与无限、确定性和随机性等衔接处,在这些教学内容的跳跃处,学生认知结构中有紧密关系的知识点对新知识的依托比较薄弱,或根本就不存在依托,于是就会产生理解上的障碍.在教学实践中经常采用的情景创设、复习引入,实验操作、铺路搭桥等都是为了制造“固着点”的,寻找为新知识抛锚的锚位。

    2.3 数学理解要着眼于联系

    希尔伯特曾经说过:“数学学科是一个不可分割的有机整体,它的生命力在于各部分之间的联系”。数学中由于不同的形式可以表现同一种内容,不同的内容又可以用同一种形式表现出来,这是我们实施变式教学的理论依据,同时也为数学教学创造预留了极大的空间。一般可通过一题多解、变式教学、引申发散来发展多角度的联系,从而增进数学理解。

    但绝大多数同学没有能够给出满意的回答,这个测试结果表明学生创造性的欠缺,其实质是多角度理解的欠缺.

    实际上数学理解程度取决于个人内部认知间联系的丰富程度,由于数学主要研究空间形式和数量关系,尽管数和形有明显的差异,但却又有着千丝万缕的联系,不能死板、孤立地就形论形,就数论数.要加强中学数学中数形联系教学深度开发研究,拓宽数形联系的路子。

    在教学中关注数学联系,首先要强化联系意识,除如上所述数形结合外,还有数学内部各概念之间的联系,数学与其它学科之间的联系、数学与外部的联系(应用),还应关注逆向联系,以及加强对概念教学全方位的审视(正向、反向、变式、相近易混概念的辨析)等。

    2.4 数学理解要植根于知识网络之中

    学习和掌握知识不是简单的知识积累(堆砌),它要求学习者在头脑中建立良好的认知结构,包括清晰的知识层次、知识间的相互关系及内在联系,以及其中所蕴涵的数学思想和方法。

    一些学生之所以不能灵活运用知识,是因为他们头脑储存中缺少网络,或者只是一些无序各自无关的破碎的小网络,甚至是孤立的知识点.当面临解决问题情境时,难以将知识激活,或无法将知识检索出来.而优秀的学生之所以优秀是因为他们头脑中有一张存储有序,严密的,立体的知识网络,其存储方式不是点状,而是由知识组块形成的链状、网状、立体结构,易于激活与提取。教学经验表明,帮助学习者构建联结有序数学知识网络对于深化数学理解尤为重要。可让学生通过自己的总结做单元小结,比较知识之间的联系与区别、编织结构,使之系统化,从中提炼出思想方法,用高观点统率全局。比如做完一道题后,这道题反映了什么样的知识,关键点在哪儿?碰壁后如何找到正确路子的,还有别的方法吗?有更简单的方法吗?还可引伸吗?经常作这样回顾性的反思总结,评判能力会逐渐提高,这些体验便及时纳入个人认知网络之中,其知识的存储在网络中必然是有序的,编码也是合乎规律的。一个人对学习的体验是有时效性的,如果不及时进行总结反思,体验就会消退,从而失去了将经验上升为规律,将感性上升为理性的时机。

摘自《数学教学》