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搭建数学与数学教育之间的桥梁

搭建数学与数学教育之间的桥梁

曹荣荣

    作为科学学科的数学和作为学校学科的数学之间一直以来都存在着巨大的鸿沟。美国60年代的“新数”运动试图将现代数学引进中学数学教材,使整个数学结构化、代数化,企图找到一种建立在清晰数学概念的定义之上的途径,并期望以学生能理解的方式表达出来,但最终并没有达到预期的理想目标.“新数”运动的失败表明,通过简化基本的数学结构或者通过引入精确的定义和逻辑的证明的做法是无法填补这个鸿沟的。按照数学体系为最终目的只能是未来数学家的目的,许多理由表明这永远不可能是普通数学教育的目的,如果按照这个体系来教学的话,那是违反教学法的。

    在ICMI-10会议上:针对这个鸿沟问题也做了专题讨论。讨论认为我们要承认数学存在不同文化这样一个事实,数学分为日常性数学、工具性数学、学校数学和科学数学;也指出当代数学的结构对数学教学几乎没什么影响。表面看来,数学就是公理、定理和证明,这似乎不可能把学校数学教学和当代的数学研究联系起来。

    因此,我们有必要来阐述学校数学和科学数学的目标。作为科学的数学是以完全揭示数量关系和空间形式为目的,对有关定理和法则要进行严格推理,它具有数学理论的逻辑系统.而数学教学的主要目的是促进学生数学思维的发展,形成数学素养。数学教学必须从学生的心理特点出发,逐步加深学生对数学的理解,而教学材料的呈现也要根据学生认知规律和学科特点进行编排。所以学校数学关注的是能提供技术数学的熟练应用,能促进社会所需数学的理解。正如Bishop所描述的:学校数学教学是一种培训环境,因此学校数学必拥有自己特定的文化:首要的是日常性数学和工具性数学,在一定程度上关注科学数学.学校数学的内容反映了某一特定阶段数学的历史发展,具有相对的稳定性.所以学校数学是存在一定的层级水平的。首先是培养学生的基本技能,包括基本算法程序、基本几何表征等;其次是让学生真正理解,如基本概念的理解;最后要为大学数学的继续学习提供准备,这个阶段的数学学习就主要指一种高层次数学技能的培养。

    为了拉近科学数学和学校数学间的距离,是否可以在数学和数学教育之间搭建起一座桥梁呢?其实许多数学家已经指出在数学学科的不同部分存在着某些基本的数学概念,这些基本概念不断地彼此组合、再组合,从而构成了数学的基本元素。这些基础概念是什么呢?他们又具备什么样的特点呢?Schwill(1993)给出了数学基础概念的四个标准:

    (1)在数学的不同分支领域内经常出现;

    (2)在数学课程发展的不同水平上经常出现;

    (3)在数学的历史发展中能反复再现;

    (4)在人类日常行为活动基础上建立;

    当然不同的数学家给出的数学基础概念也不尽相同,根据Steen(1990)的观点,我们来看数学基础体系:

    数学结构:数,算法,比率,形状,函数,数据;

    数学特性:线性,周期,对称,连续,随机,最值,近似,光滑;

    数学活动:表征,控制,证明,发现,应用,建模,实验,分类,想象,计算;

    数学抽象:符号,无限,优化,逻辑,等价,变化,相似,递推;

    数学态度:好奇,意义,美,现实;

    数学行为:运动,混沌,谐振,迭代,稳定性,收敛,分形,振动;

    数学二分:离散与连续,有限与无限,算法与存在,随机与确定,精确与近似;

    从数学课程标准(2000年)也可清晰看到数学基础概念:数和运算、代数、几何、度量、数据分析和概率。除了内容标准外,还有过程标准:问题解决、推理与证明、数学交流、关联以及表征.在这里关联不仅是数学内部的联系即那种构造统一的数学,学校教学计划内建立的逻辑关系大都属于这一类。同时,更为关键的是建立数学与外部那种学生亲身体验的现实之间的关联,而不是教师或教科书作者勉强生硬的联系。

    似乎看来,数学基础概念可以成为数学与数学教育的桥梁。在实际教学中,最关键的是数学教师和数学教育者要去发现这些基础概念,并在课堂不断的交流和探讨中让学生体会这些概念的基础性,这也是课堂教学改革所要考虑的问题之一。仅举几例加以说明。

    语言

    数学本身是一种语言,一种简约的科学语言,这种语言,既是数学知识的重要组成部分,又是数学知识的载体。数学语言的使用是一种思维的训练,是教会学生正确掌握词的含义,如何避免循环定义,如何正确运用语言来构造命题等等。

    数学符号不仅仅表示数学思想,而且是帮助学生构造数学知识的一种模式。如指数法则(a^b)^c=(a)^(bc),集合关系(A^B)^C=A^(BC),这是Dorfler’s图表推理模式,不仅帮助学生记忆,而且这种不同数学情境下的统一的模式正是数学基础概念的体现。

    模式

    自古以来认为逻辑思维当由数学来训练,那么怎样才能使这种高度形式化的思想得以转化呢?对称这个概念在数学中很重要,但传统的数学中却很少认识到,几何中的对称被全等定理的应用所抑制,而代数中的对称则常被具体的算法所淹没。可以想象,认识并运用某些数学结构是一种思维训练,但必须注意到,真正能够起到思维训练作用的是数学方法而不是具体的题材,因此必须强调方法,而有意识或无意识的类比是有效的一种方式。

    每个学生都知道1一x^2=(1+x)(1-x),甚至也知道1一x^3=(1+x+x^2)(1-x),那么继续推广下去就得到1一x^(n+1)=(1+x+…+x^n)(1-x),两边同除以1一x且令n→∞,如果∣x∣<l,那么就有结论1/{1-x}=1+x+x^2+…。这个简单的推导看似是代数问题,其实包含了数、绝对值、不等式以及收敛等数学知识。

    虽然在一般的环论中是没有数、绝对值、不等式及极限概念的.但是这种数学形式却可以在纯代数中加以应用,对抽象环为什么这个几何级数的和公式仍然是正确的?这个公式是否能体现一般真理?这也许就是数学基本元素吧.我们假设1/(1-ba)可以展成几何级数即

    (1一ba)^(-1)=1+ba+baba+bababa+…

    从而有

    (1一ba) ^(-1)=1+b(1+ab+abab+ababab+…)a

    再一次利用几何级数,则有(1一ba) ^(-1)=1+b(1一ab) ^(-1)a,尽管这是一个不合理的推论,但的确能给出证明。

    函数和映射

    毫无疑问,函数、映射和算子是数学基本的研究对象.就拿集合论来说,其中心难点是无穷集合这个概念本身,亚里士多德考虑过无穷集合,但他并不承认一个无穷集合可以作为一个固定的整体(实无穷)而存在,对他来说集合只是潜在的无穷.涉及集合的许多问题的争论是无休止的,布尔查诺维护了实无穷的存在,并且强调了两个集合等价的概念。直到康托尔建立了集合的基数和序数理论,如果在两个集合之间建立了双射,则称两个集合就是等价的。看来映射(算子)对是康托尔建立无穷理论的最基本的概念,也是无穷集合比较的唯一工具。

    原型和规范形式

    以圆锥曲面作为原型,用平面去截圆锥曲面,按照不同的角度则分别得到椭圆、抛物线和双曲线。

而在建立适当的坐标系后可以得到统一的方程形式:

    (1一e^2)x^2+y^2—2pe^2 x一p^2e^2=0

    当e>1时,方程表示的是双曲线;当e=1时,方程表示的是抛物线;当e<1时,方程表示的是椭圆。

    再创造

    许多数学概念的引入是为了更好地获得一些好的数学性质或者填补证明中的漏洞,比如像一致收敛概念,历史上柯西就曾经给出了错误的猜想“收敛连续函数序列的极限是连续的”,可是连续函数序列fn(x)=x^n在区间[0,1]的每一个点上都是收敛的,但是函数列的极限并不是连续的。事实上,一致收敛概念的引入就是为了保证“连续函数序列的极限也是连续的”的这样一个命题。

    借助数学基础概念,我们可以在不同的数学分支内建立联系,不是教授孤立的片段.正如夸美纽斯所渴望的:人们学习的每件事情都应该是充满着联系的。这些数学内部的联系就是依靠数学基础概念把他们相互联系起来;按照数学基础概念,我们可以分析教学材料、课程以及课程标准,从而去设计更合理的学校数学课程,而不是象“新数”运动一样把我们的学生都当作数学家、科学家来培养,要充分考虑学校数学自己特定的数学文化;无论是教师还是学生一旦拥有了数学基础概念,他们就会更好地理解数学,把握数学的本质。

摘自《数学通报》