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波利亚的数学启发法思想 ——对我国基础教育数学课程改革的启示

波利亚的数学启发法思想

——对我国基础教育数学课程改革的启示

汪同德  马维学

    乔治·波利亚(George Polya,1887~1985)是著名的数学家、教育家、数学方法论大师。他是20世纪下半叶世界公认的2位数学教育权威之一(另一位是  Hans Freudenthal)。作为一名数学家,波利亚在众多的数学分支领域都有建树,留下了以他的名字命名的术语和定理;作为一名数学教育家,波利亚有丰富的数学教育思想和精湛的教学艺术;作为一名数学方法论大师,波利亚开辟了数学启发法研究的新领域,为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理论基础。本文拟对波利亚的数学启发法思想作简略述评,并探讨它对我国基础教育数学课程改革的启示。

1  波利亚的数学启发法思想述评

    波利亚的数学启发法思想主要表现在以下几个方面。

1.1  关于数学发现的方法

    怎样看待数学发现的方法,这是现代数学方法论研究中的一个关键问题.历史上曾有一个时期,人们希望找到一种能有效解决一切问题或从事数学发现的“万能方法”,如笛卡儿和赖布尼兹就曾提出过所谓的“万能方法”。后来,人们又走向了另一极端,认为根本不存在任何发现的方法,如逻辑实证主义者就持这种观点.这就使得关于数学发现方法的研究一度陷入停滞状态。波利亚在上述两极对立之间开拓了一个新的研究方向——数学启发法.他指出,数学启发法研究就是关于数学发现的方法或模式的研究。波利亚认为,“万能方法”是不存在的,但是“各种各样的规则还是有的,诸如行为准则、格言、指南等等,这些都还是有用的。”我们可以,而且应当去从事对新的研究工作具有启发与指导意义的一般方法或模式的研究。[1]对于如何进行数学发现方法的研究,波利亚指出应当从身边熟悉的数学活动(特别是成功的实践)中积累数学活动的经验,概括总结出数学发现的一般方法或模式,这些方法或模式在以后类似的情况下,就可起到启发与指导作用.这正是数学启发法的意义所在。

1.2  关于解题的思维过程

    波利亚数学启发法研究的一个主要内容是解题的思维过程的研究。这里所说的“题”不是—般意义上的数学练习题,而是一个数学问题。波利亚对解题的思维过程作了深入细致的研究,他一方面通过自己亲手解题积累经验,另一方面仔细观察教学中不同年龄、不同程度的学生的解题过程,经过多年实践与探索提炼出一张“怎样解题”表,把解题的思维过程划分为审题、拟订解题计划、实现解题计划和回顾4个阶段。他特别强调指出:“即使是相当好的学生,当他得到问题的解答并且干净利落地写下论证后就合上书本,找点别的事来干干,那他就错过了解题的一个重要而有教益的方面.通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子,学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力.”[2]波利亚认为,在完成解题这一数学活动后,要通过回顾与反思解题活动的思维过程来抽象概括出一般的方法或模式来。即在解完一个题后应当考虑这样的问题:你能检验这一结果或这一论证吗?你能用不同方法导出这一结果吗?有没有更为简单和直观的方法?你能把这一结果或方法用于其它的问题吗?[2]这正是从事数学启发法研究的基本方法之一。

    波利亚认为,在解题过程中学生的发现与数学家的发现没有本质的差别和不可逾越的鸿沟.因此,他对数学家解题思维的每一细微发现都倍感兴趣,他阅读大量数学家的著作和手稿,深入探索他们发现真理的思维全过程。波利亚还有目地的观察、研究学生解题的思维过程,并在斯坦福大学心理实验室进行实验,获得了一些关于解题过程心理活动规律的独到见解。他对解题思维过程中的各种思维形式如抽象思维、表象思维、形象思维、直觉思维等作了详尽描述和剖析,总结出了解决问题的一般思想方法:孤立的事实,将它与有关的事物相对照;新的发现,将它与熟悉的知识相联系;不习惯的,与习惯的相类比;特殊的结论,加以推广;一般的结果,给予适当的特殊化;复杂的情况,分解为组成部分;细节,通过概括获得全貌。

    波利亚把研究数学解题作为研究数学发现方法的重要途径,而且阐述了解题过程本身的价值。他指出:一个重大的发现可以解决一道重大的题目,但是,在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现.你要解答的题目可能很平常,但是如果它激起你的好奇心,并使你的创造力发挥出来,而且你如果用自己的方法解决了它,那么你就能经历那种紧张的状态,而且享受那发现的喜悦.在一个易受外界影响的年龄阶段,这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好,并对思想和性格留下终生的影响。[2]可见,解题过程中的发现及价值需要通过解题者自己的探索、思考来实现和感悟。

1.3  关于合情推理

    关于合情推理的研究是波利亚数学启发法研究的另一重要内容.波利亚在著作《数学与猜想》中通过大量的实例论述了合情推理,并总结了合情推理的一般模式.他指出:“数学的创造过程是与其它知识的创造过程一样的,在证明一个定理之前,你先得猜测这个定理的内容,在你完全作出详细的证明之前,你先得猜测证明的思路.你要先把观察到的结果加以综合,然后加以类比,你得一次又一次地尝试.数学家的创造性成果是论证推理,即证明,但是这个证明是通过合情推理,通过猜想而发现的.只要数学的学习过程稍能反映出数学的发现过程的话,那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。[3]这就是说,要反映数学发现的过程,就必然有合情推理的成份。对于合情推理与论证推理(演绎推理)的关系,波利亚认为:“论证推理是可靠的、无疑的和终决的。合情推理是冒险的、有争议的和暂时的.它们相互之间并不矛盾,而是互相补充的。”[3]因此,“一个对数学有抱负的学生,不管他将来的兴趣如何,都应该力求学习两种推理——论证推理和合情推理.前者是他专业也是他从事的那门科学的特殊标志,后者则是他取得真正的成就所必不可少的。”[3]为了给读者展示猜测的方法,波利亚在对类比、归纳等合情推理的实例作了详细的分析论述之后,总结出了合情推理的一般模式.波利亚把合情推理的结论比作一个有方向和大小的力,在合情推理中,方向为前提所表达、所蕴含,但强度(大小)却不为前提所表达、所蕴含。因此,方向与个人无关,而强度却与个人有关。这正是合情推理的本质。同时波利亚还指出:“我不相信有十拿九稳的方法,用它可以学会猜测”;但是,“假如我们能从一种情形学到适用于其它一些情形的某些东西,那么这种情形就是有启发性的,可能适用的范围越广就越有启发性。[3]也就是说,合情推理的模式和方法只是一种启发性的。

2  波利亚的数学启发法思想对我国数学课程改革的几点启示

波利亚倡导数学发现方法的研究,他把研究数学解题活动作为进行数学发现方法研究的重要途径,他指出应当从身边熟悉的数学活动特别是数学解题活动中积累数学活动经验,概括总结出数学发现的一般方法或模式。波利亚通过多年的研究与反思总结出的数学发现的一种重要思维方式就是合情推理,即从特殊到一般的归纳思维。

    我国传统的数学教育只注重知识技能(双基)的培养和演绎思维(论证推理)的训练,这样的教育不能完全满足国家发展的需要和学生发展的需要.因为,目前国家发展需要创新人才,学生也需要创新能力来应对市场经济的挑战.有学者指出,创新至少需要3个条件:创新意识、创新能力和创新机遇,而前两个条件是在基础教育阶段养成的。其中,创新能力依赖于3个方面:知识的掌握、思维的训练、经验的积累.我国的中小学数学教育对于“知识的掌握”做的很好,对于“思维的训练”(包括演绎思维和归纳思维)只作好了一半,对于“经验积累”几乎空白。可见,我国的数学教育在满足国家发展的需要和学生发展的需要方面只做了一半工作。[4]要解决上述问题,必须改变我国数学课程重结果轻过程,重演绎轻归纳的状况。从波利亚的数学启发法思想中可以得到如下几点启示。

2.1  数学课程应关注数学发现活动,在活动中积累数学活动经验

    如上所述,创新能力形成的条件之一是经验的积累,这里主要是指创新活动的经验,这种经验是学生在亲自或间接经历了创新活动过程而获得的。在数学学习中,这种创新活动主要表现为数学发现活动。我国传统的数学课程只关注数学发现活动的结果,而对发现活动本身关注不够,因此,学生数学发现的经验几乎空白.波利亚早在20世纪40年代就提出要开展数学发现活动的研究,他以研究解决数学问题活动为突破口,总结出了解决数学问题的模式和方法。他指出,应当从身边熟悉的数学活动中积累数学活动的经验,概括总结出数学发现的一般方法或模式。

    我国新一轮基础教育数学课程改革中,提出数学课程内容要与学生的生活经验相联系,要创设情境引导学生开展数学探究活动、发现数学结论.但在具体操作中,我们缺乏这方面的研究和积累,做的并不好。我们从波利亚数学启发法思想中可以得到一些启迪。一方面,数学课程应关注数学发现活动,使数学的学习过程能反映出数学的发现过程。作为课程设计者和研究者,应当开展关于数学发现活动的研究,积累数学发现的经验和资料。波利亚的著作能为我们提供一些这方面地借鉴。另一方面,要引导学生对自己的数学活动进行回顾与反思,尤其是通过对身边熟悉的数学活动的反思来积累数学活动经验。这也是一种良好的数学学习习惯。

2.2  数学课程内容应充分暴露数学发现的思维过程,引导学生亲历、体验数学发现的活动过程

    我国传统的数学课程注重数学发现的结果,而忽视了数学发现的过程,主要表现在教科书中只呈现现成的数学知识,而看不到这些知识的获得过程,教学中也只注重知识的传授,而忽略了获取知识的方法。这对于培养学生的数学思维能力特别是创造性思维能力是极为不利的。波利亚以其从事数学研究的亲身体验和数学启发法研究的成果告诫人们:方法与结果相比前者更为重要,教学中应把培养“有益的思考方式,应有的思维习惯”放在首位,而把传授知识置于次要一点的地位。他认为与其给人以死板的知识,以知识的宝藏,不如给人以活的、生动的方法,以点石成金的手段。

    我国新一轮基础教育课程改革中,提出了三维课程目标,将“过程与方法”作为课程的目标明确提出来。但是,在数学课程内容处理上如何体现过程性目标,在教学过程中如何实现过程性目标等,都还是令人感到困惑的问题.受波利亚数学启发法思想的启发,笔者认为我国数学课程要更好的体现过程性目标,一方面,课程内容编排与处理应为学生留有充分的独立思考的空间,使学生充分发挥自己的个性和创造性,亲历数学发现的活动,自己积累数学活动的经验、归纳总结解决问题的方法;另一方面,课程内容要展示数学知识发现的共性,“复原”数学知识的发现过程,要根据数学知识的发现过程来设计数学活动,引导学生体验数学发现的活动过程。这方面,波利亚的著作为我们提供了典范。波利亚认为,学生的数学学习活动本质上是一种类研究活动,学生的数学学习活动与数学家的研究活动只有难易程度的差别,而没有本质的差别和不可逾越的鸿沟.因此,作为课程设计者或教材编写者,要注重研究和揭示数学知识的发现过程,这个过程不一定是历史上发现该知识的数学家当时发现的真实过程,可能是我们自己“复原”的数学结论的发现过程,我们也不必要求学生遵循这样的过程,但这种过程的揭示对学生尤其是对于刚开始尝试解决问题的学生的思维会有一定的启迪作用。

2.3  数学课程应演绎与归纳并重,促进学生认识归纳思想对数学发现的作用以及演绎和归纳思想在数学发展中的作用和价值

    我国基础教育阶段的数学课程长期以来以逻辑性、严密性、系统性为首要的原则,这对于数学教育的影响是深刻的。但过份强调严格性,也产生了一些消极成份.如我国传统的数学课程内容可以说是极度的形式化,过份强调抽象、严谨、逻辑等形式化侧面,坚决反对、排斥任何的非形式化。在这样的教材体系中,容不得半点猜测的成份。我国新一轮基础教育数学课程改革对于合情推理给予了一定的重视,而对论证推理的要求比以往有所减弱.在课程实施中,教师由于受传统思维定势的影响,对此感到困惑,这也成为课程改革争议的问题之一。

    如前所述,我国的数学教育在“思维的训练”(包括演绎思维和归纳思维)方面只作好了一半,即演绎思维训练做得较好,而归纳思维训练则被忽视.重演绎本质上是关注结果,这对于培养数学创新能力是极为不利的。事实上,数学创新能力的培养主要靠的不是演绎推理(演绎思维),而是合情推理(归纳思维)。

    回顾数学的发展历程,数学结论的发现和创新主要靠的是实验、观察、类比、归纳、联想、猜测等合情推理,而演绎推理则只是真理到手后的论证。除波利亚外,许多数学家都根据自己的研究实践和经验论述了合情推理在数学发现中的作用。数学家拉普拉斯曾说:“数学中达到真理的主要方法,是归纳和类比。”数学家欧拉也说过:“今天已知的数的性质,大部分都是通过观察发现的,并且远在能严格证明它们之前,就被发现。”吴文俊院士也曾指出:“学校里给的数学题目都是有答案的,已知什么,求证什么,都是清楚的,题目也一定是做得出的。但是将来到了社会上,所面对的问题大多是预先不知道答案的,甚至不知道是否会有答案。这就要培养学生的创造能力,学会处理各种实际数学问题的方法,但要做到这一点,光凭演绎推理是不够的。”可见,数学知识的发现过程往往是非严格的,即非形式化的,只有以结果的形式表现出来的数学知识才能够做到严格化。正如波利亚所指出的:数学知识是通过猜想、合情推理等非严格逻辑思维而发现的,只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话,那么就应当让猜测、合情推理占有适当的地位.波利亚把教会学生猜想作为培养学生创造性能力的一种得力手段,并且认为教猜想也就是为学生今后的发明创造做准备工作。他向教师呼吁:让我们教猜想吧!

    我国的数学课程应当从波利亚的数学启发法中受到裨益.一方面,在数学课程中应给合情推理应有的地位,克服以往重演绎轻归纳的倾向,在演绎与归纳之间寻求恰当的平衡。在数学教学中要既教证明又教猜想,既教论证推理,又教合情推理。另一方面,应注重实质,淡化形式,不必过份追求理论的完整性、严密性,而应注重解决问题的“通法”。特别是数学课程内容应增加探究性内容,以培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,使学生理解和掌握数学发现的方法——合情推理(归纳思维),认识归纳思想对数学发现的作用以及演绎和归纳思想在数学发展中的作用和价值。

摘自《数学教学研究》