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数学教育中注重基础与面向大众的创新

数学教育中注重基础与面向大众的创新

张伟平

众所周知,在数学教育中,基础和创新是两个永恒的主题。基础在创新中的作用是什么?普通人如何创新?创新在我们教育中到底应该处于什么样的位置?针对这些问题,我们的数学教育该如何面向大众学生,铺设更适宜的、更平易近人的创新土壤?

1.区别两种创新——发明创造和熟能生巧式创新

众所周知,许多科学家所作的贡献我们称之为发明创造,教育也有意无意地拿他们作楷模,似乎创新能力只有天才才具备,一般人望尘莫及。事实上,很多于人、售票员、操作也有创新,他们的创新是在熟练的流水线基础上提出新的看法,新的工艺,称之为熟能生巧式创新。两种创新体现在数学上就是,一类是数学家的开拓创新,另一类就是广大的数学学习者的创新,是指学习个体在熟练的基础上对旧的数学知识的再组织、再构造、再形式化的过程,是个体对数学的再加工。在数学学习中看到了别人看不到的东西,能够独立思考,找到别人想不到的思维路径,这种独辟蹊径是很多学生可以办得到的,是今后的工作中可能用得着的能力,我们当然称之为创新。不过,和创造发明,开拓全新领域是有区别的。区别两种创新的意义就在于,创新是可以既指向优秀学生,也可以面向大众。创新并不是高高在上,可望不可及,而是可以体现在普通人的生活,

2.知识理论下的数学教育的两种创新路径

知识分为显性知识和隐性知识,借用日本学者棍田教一的“扎实学力”(基础学力)的“四层冰山模型”可以更详细地说明知识的分类。他认为一座冰山浮在水面上的不过是“冰山”的一角,倘若露出水面的一层是显性学力——知识与技能、理解与记忆,那么,藏在水而下的三层则是支撑冰山上方显性学力的隐性学力——思考力和问题解决力、兴趣与意欲以及体验与实感,所谓“基础学力”即是由上述的显性学力和隐性学力组成的,它们是相辅相成、不可分割的一个整体。为了实现指向“基础学力”的“扎实的授业”,我们必须把握“基础学力”形成的两条运动路径:(1)从下层向上层推进的学力形成路径,即从体验与实感、兴趣与意欲向思考力和问题解决力以及知识与理解的运动;(2)从上层向下层延伸的学力形成路径,即从知识、技能、理解与记忆向思考力和问题解决力以及兴趣与意欲、体验与实感的运动。棍田教一强调,这种表层与深层的循环往复的学力形成路径,正是培养扎实的基础学力所需要的。

无独有偶,数学创新的产生也有两条路径。一条创新是掌握了知识的基本脉络,然后借助于深度思考获得创新。即从冰山理论中的水面下三层:思考力和问题解决力、兴趣与意欲以及体验与实感出发,依靠内在的力量,糅合对基础知识的理解、分析,获取创新,是从内到外主要依靠内力发功产生创新的能量,称之为深度思考式创新,数学家的发明、发现往往是这种创新;另一条路径是在模仿性学习的基础上,对概念、定理等数学知识掌握非常流畅,技能熟练积累达到自动化,数学知识运用灵活,独辟蹊径,提出新想法、新思路,从而碰撞产生出创新的火花。这相当于知识冰山的上层与下层的不经意磨合产生灵感,是熟能生巧式创新。

3.面向大众的创新——熟能生巧式创新

我们的教育似乎太少关注熟能生巧式创新,教育中提出的创新目标似乎都指向深度思考式创新,要求每个学生的创新都必须按照诺贝尔奖获得者的模式进行,似乎教育日标应当是“人人都成爱因斯坦”。弄得创新高高在上,神秘兮兮。我们呼吁“人人都有创新的潜力”,“人人都可以做到熟能生巧式创新”!

从基础到创新有很多影响因素,知识的自动化是必要条件。刻意的练习使个体的技能更为纯熟,只有基本技能达到自动化水平,—个人才会在活动中集中于如何创新上,才能碰撞出创新的灵感,才能使得熟能生巧式创新成为可能。可以说,知识自动化是熟能生巧式创新的储备和前奏。

熟能生巧型创新实质是在对数学基础自动化后,人的思考力获得发展而产生的创新。

数学教育上达到自动化的表现为:

(1)整体理解:学生能从整体上把握概念,达到整体理解,弄清来龙去脉,思考整个知识结构、知识成分联结,对基础知识、基本概念形成体系,就是俗话说的“真正的懂”。

(2)知识的网络化。自动化不是机械化数学操作,是在熟练的基础上对知识的再组织、再加工的过程。专家和新手的差别不是知识数量的差别,而是知识组织方式的差别。自动化使知识结构形成网络化结构,提高他们解决问题知识检索的效率,起着思维经济化的作用。让思维腾出空间思考更加深刻的数学内容,从而达到数学创新。

(3)对知识的识别。学习的重要形式是以不同方式看待某个学习对象:马登(Martin,1999)指出,学习意味着一种发现事物的方式,而这种方式的建立是基于对学习对象关键点的分辨,及对这些特点的同时聚焦。正是因为熟悉了,成为老朋友了,我们才可以分辨。

故数学理解达到自动化的要素是:流畅性、灵活性、个性化。自动化才能使思维达到灵活性(plausibility),灵活性义以一定的熟练程度为基础。“熟”是为了创新,不是机械化操作,不是“和尚撞钟式的念经”,而是念经中的“感悟”和“升华”,存在于决定结论对错的策略选择和策略实施。是在把握全局的基础上,对问题的转换思考,换—个角度,换一个线索思考问题,就可以得出意想不到的收获。

在具体教学中,很多传统教学方式都可以达到熟练化程度。“数学问题引入”教学;数学提问研究;启发式讲解模式;“精讲多练”教学模式;大班讨论交流方式;解题方法的总结;小步子、小转弯、小坡度的“慢班”教学策略;大容量、高速度、快节奏的快班的复习课策略;“咬文嚼字”的概念数学等等,都是为了学生达到自动化熟练程度。值得一提的是开放题,是一个很好的评价途径,它将基础与创新相衔接,在一定程度上可以有效地考察学生的创新潜力。

4注重基础与面向大众的创新的关系

(1)熟能生巧式创新始于模仿与遵守

创新离不开模仿性,甚至可以说,创新始于模仿,只有在模仿的基础上,对数学知识逐渐熟练掌握,才能使思维具有流畅性、灵活性,才有可能达到新颖性阶段,无论是哪种创新,都以深厚的基础为积淀,都从模仿性学习开始;无论是哪种技能的学习,“教师示范、学生模仿、不断练习”,仍然是最有效的学习方法。

掌握基础数学知识和基本数学活动经验,依然在课堂上唱主角。因为数学创新区别于其它领域的创新最根本点在于前者需要具备数学中的“锚”,即数学固着点。数学中有大量的约定性知识,从概念形成、选择名词、表述方式,猜想形成,定理证明,构成规则,写成公式等等,都是前人的自主创新的成果。经过不断地总结、归纳、去粗取精,形成了数学运算法则,求解公式,解题规范等等。数学教学要求学生按照规定操作,一步步地解题,好象遵循一些指令,是一种基本能力。

(2)面向大众的创新是坚实基础上的创新

坚实的基础,不是机械的、贫乏地记忆数学知识和数学方法,而是基础知识上的思想方法提炼。基础知识和基本概念体系背后的思考方式和行为方式应该成为教育关注的对象。(钟启泉)数学学习不能等同于工匠学习手艺,应该经历思想方法的历练。俄罗斯教育学家打了一个比方说:“总结和不断完善制作煤油灯的先进经验,是根本不可能导致电灯的出现的。对此需要一种全新的思维和探索方向。况且,科学的价值不仅在于研究正面经验,而且也要研究负面经验。”因此,关键不在于经验本身,而在于从经验中得出的思想。单纯的经验并不能获取创新,创新一定是在所总结的思想方法的基础上获得的。有了坚实基础,激发了人的内在灵性,洞察力才能得到提升,才能激发创新的火花(见图2)

知识点串成知识基础

 

思想方法提炼

 

创新

图2

教育面向大众,我们的创新也应该走下神坛,面向大众。创新体现在数学的日常教学中,最好诠释就是熟能生巧式创新。数学教育不是为了教给学生一大堆定义、公式、法则,而是要以既定的数学公式、法则为坚实土壤,为学生的创新提供温床。从某种程度上讲,有效的教学的标志是熟练化的积累后的知识的自动化,并能留给学生创新的空间。优质教育=坚实基础+发展创新!

摘自《上海教育科研》