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拓扑趣谈(4)拓扑魔术奇观

  • 四、拓扑魔术奇观

1、拓扑小魔术

[ 大硬币通过小圆孔 ]

大凡拓扑魔术,都有一种奇异的效果,观众开始总觉得不可思议,甚至认为断不可能,然而当他亲眼看到或亲手做过,便心悦诚服了。下面就是一个实例。

纸片上有一个两分硬币大小的孔,问伍分硬币能通过这个圆孔吗?当然,纸片是不允许撕破的。成长吧啊

“大硬币通过小圆孔”?!听众可能感到不可思议,因为答案几乎“明摆着”,大圆怎么可能穿过小圆呢?

不过,我要告诉读者的是:只要硬币的直径不超过圆孔直径的一倍半,上面的要求是可以做到的。这一简单拓扑魔术的窍门,大家只需看一看右边的示意图便会明白。

 

成长吧啊 拓扑魔术

[ 莫里哀的问题 ]

莫里哀是17世纪法国著名的

戏剧大师。他曾经写过这样一段话:“一次去法国南部巡回演出时,我看见一个人用两米多长的绳子结成环,套在手腕上,这只手紧紧地抓住内衣的下襟。他严格遵守以下两条规定:一是绳子既不能解开,也不允许剪断;二是内衣既不能脱掉,也不许剪破!但不消几分钟,他就把套在手上的环绳抽了出来。”拓扑魔术 成长吧啊

莫里哀的这段话,从表面看似乎不可能成立。然而只要细心观察就会发现:虽然魔术表演者的右手紧紧地拽住背心的下襟,但是背心与人体之间实际上处于分离的状态。因此,套在手腕上的绳子,完全可以利用背心与人体之的空间,从中抽掉!下图就显示了这一具体的脱离过程。

成长吧啊

莫里哀问题如果允许表演者脱下背心,则结论会更加明显些。因为假如表演者把背心脱下,此时无异于在他的手上提了一件背心,又挽了一条风马牛不相及的绳子。现在想要脱下绳子,是易如反掌的事!

这个魔术可以略加改造,要求表演者穿一件背心和一件外衣。为了表演的方便,也为了让观众看得更清楚,外衣最好不扣扣子。表演的最终目的是:当着观众的面,穿着外衣而把里面的背心脱掉。这一魔术表演的解答,就留给大家吧!

有了莫里哀问题的解答作基础,大家探求以下的魔术的奥秘,大概就不会有太大的困难了。

 

[ 盗铃 ]

另一个极为有趣的拓扑魔术叫“盗铃”:一条薄皮带上面有两道缝,下端有一个孔,一条非常结实的绳子如左图穿过孔和缝,并在两端系上两个大铃。现在要你想办法把铃连同系它们的绳子一道从皮带里取下来。拓扑魔术 成长吧啊

读者千万不要以为这道题是本节开初“大硬币过小圆孔”的老调重弹。实际上,这里的大铃比小洞要大许多,要想让铃穿过洞是绝对不可能的!解决这道题需要克服习惯的偏见。就柔软的绳子与宽厚的皮带而言,人们更容易在绳子的移来拖去上动脑筋。其实,这道题偏偏是在宽皮带上做文章。

成长吧啊 拓扑魔术莫里哀问题中我们已经埋下伏笔,在那里我们曾经介绍过一种绳子不动、背心动的方法。这种方法正是一种打破常规的思考。魔术“盗铃”用的也是这种异乎寻常的方法,其精彩之处在于把人们最不愿意变动的皮带如同左图那样变形,让皮带中两条缝间的窄长的小带通过小孔穿到下方去,而绳子还在原位挂着!

至于接下去的脱铃办法,无疑已经不言自明了!

 

 

[ 逃脱 ]

下面一则扣人心弦的故事,隐含着一

种新颖的拓扑魔术。从前有一位国王,把

两名反对他的人以莫须有的罪名抓进了监

狱。狱中牢房的墙根有一个小洞,大小恰好能让一个人爬过。为了防止犯人逃跑,国王命令用手铐和铁链把两人的手,互相套着锁在一起。现在,这两人面临的问题是:如何与对方分开,然后从小洞一个个逃出去?

亲爱的读者,在这生死关头,你愿意用自己的智慧帮助这两名无辜的犯人吗?

可能你现在已经想出了办法,这是值得庆贺的!假如你一时还没想出来,那就请你看一看下边的图吧!它提示我们:甲应该把自己手铐上的铁链,如图所示从乙的手铐缝隙中穿过去,然后再套过乙的手,这样两人就可以分开了!

成长吧啊 拓扑魔术  成长吧啊 拓扑魔术

2、有趣的结绳戏法

读者都有这样的经验:两头接起来的绳子,如果在连接之前没有打过结的话,那么连接起来之后便不会有结。反过来,如果起初已经打过结,那么连接起来之后,这个结将会永远存在。

最简单的绳结有两种。为了让读者看得更清楚,我们特意把这两种绳结打得非常松(如下图)。正如读者在图中见到的那样;这两种绳结是互为镜象的。

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可能有人认为,把这两种方向相反的结打在一根绳子上,然后把它们移在一起,便会互相抵消。大家尝试一下就会知道,这是不可能的!数学家已经找到了这一经验事实的严格证明。

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下图(l)的3个绳环互相套在一起。如果你剪断其间的任何一个环,其余的两个环仍然互相套着。下图(ll)却不同,3个绳环虽然也互相套着,但只要剪断其中的一个,3个环立即互相脱离。

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建议读者照图(ll)做3个绳圈,然后把其中不涂色的两个绳圈用力往外拉,结果黑色的绳圈产生了变形,成了如图(lll)的模样。图中黑色绳圈的套法,无疑可以如同右图那样,一个套着一个,连成一条长长的环状绳套链。我们只要随便剪断其中的一只绳套,所有的绳套便全然分崩离析!成长吧啊 拓扑魔术

 

有一种很著名的打结法叫“契法格结”,这是一种假结,在结绳戏法中常常使用。契法格结的打法是:如下图,先打一个正结,再打一个反结,然后像右下图那样,绕串起来。这时如果抓住绳子的两头一拉,立即会恢复成原先的一条绳子。

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好!下面让我们再欣赏一些有趣的结绳游戏。读者快就会发现,我们前面学过的拓扑学知识,是何等巧妙融合在这些戏法里。

[ 当中取圈 ]

这是一个非常简单的拓扑游戏,对于锻炼人们的思维相当有益:将6个一样的铁圈用绳子串着,绳子的两端如下图那样开着。你能

成长吧啊,拓扑魔术

把当中的两个铁圈取出来,却又不让两端的铁圈脱离绳子吗?  我想聪明的读者一定都能想得出来;但我们还是和下面的结绳游戏一起,把答案附在本节的末尾。

[ 巧解剪刀 ]成长吧啊,拓扑魔术

另一种戏法叫“巧解剪刀”:用一根细绳像右下图那样拴结在剪刀上。剪刀的手柄是闭合的,绳子的另一头连着一个健身圈,其含意是不允许绳头从剪刀的手柄中穿回去。请问。在不允许把绳子剪断的前提下,你能把绳子从剪刀上脱下来吗?

可能有些读者对上述问题还不太适应,那就先做一做下面一道类似但稍微简单些的题目吧!可能后者的解决,将增加你解决前者的信心和把握!

 

[ 脱圆珠笔 ]

将一支圆珠笔用细绳拴一个套,然后如下图将它穿过上衣的纽扣孔;拉紧后就变成像“巧解剪刀”中的那种“死扣”。现在你试着把它解开,这是很容易办到的,只要还原回去就行了。然而这样的还原,对于解决“巧解剪刀’问题却极有启发。

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[ 结绳游戏 ]

还有一个可以使人眼界大开的结绳游戏:取一条约一米长的圆绳,如下图给它打上三四个绳结(一定要照图样打结),然后在下方标有“”的地方用剪刀剪断。现在把绳子向两端拉直,奇迹出现了:在纷纷扬扬落下一些绳头之后,眼前又出现了一条完整的绳子

成长吧啊,拓扑魔术

上面介绍的这些有趣戏法,你都可以给你的同学们表演。我深信你的精彩表演,一定会引起不小的轰动!

[ 游戏答案 ]

(1)当中取圈。

把绳的两头扣起来,将其一端上的两只铁圈通过绳结移到另一端去,然后再将绳子解开,现在取走中间的两只铁圈便很容易了。

(2)巧解剪刀。

解法如下图

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3、“巧移钥匙”

下面是一个在拓扑魔术中令人称奇的节目,叫“巧移钥匙”:如图,一根细绳与木条系在一起。在绳子靠右的一段穿着一把钥匙。木条中间的大孔比钥匙小,钥匙不可能从大孔中穿过。现在要求把右边的钥匙巧妙地移到左边去。当然,在移动过程中不允许解下或剪断绳子,也不能撕裂或损坏木条!

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这是一个颇有难度的魔术表演,过程如下图所示。不过,光靠看图似乎还不够,最好能自制一副道具,照着图反复练习

如图(l),先把绳环A往下拉,使之扩大;并把钥匙穿过A环接着,用手握住B绳和C绳,一同向下拉,直至把木条下面的绳子通过大孔从后面拉到前面来,形成图(2)B、C两个绳环;现在我们把钥匙一齐穿过B、C两个绳环,使之像图(3)那样移到左边来;

成长吧啊,拓扑魔术

然后从大孔的后面,把绳环B和绳环C一同拉回去,再向下拉动绳环A,使其扩大;最后像图(4)那样,把钥匙从绳环A中穿过去;现在拉紧绳子,钥匙就在左边了!

最后让我们看一个类似的问题。它与上述问题不同的地方在于:如左图,原来系在木条上的绳头,现在改为穿过两个小孔。绳端系着大纽扣,为的是防止绳子脱落。魔术同样要求把钥匙移到左边。不过,它可有简单得多的办法,有点像“犯人逃脱”故事中用的手段。具体解决方法就留给读者去想了!

成长吧啊,拓扑魔术

 

[   ]

[ 拓扑学若干要义的简述:— John L . Casti ]

[ 拓朴学 ]

现在我们知道拓扑学就是研究几何对象在经受了连续变换后保持不变的那些性质的。所以不把我们的变换限于定义我们称之为欧氏几何的性质的刚体运动,现在我们允许对象的任何变换或映射,只要求开始时靠近的两点变换后仍是靠近的。我们不想允许空间的任何连续变换,而只允许那样一些连续变换,它使得变换后的空间的任何一点对应到而且只对应到原空间的一点,反之亦然。换言之,我们考虑的变换是连续的,具有连续的逆变换,而且是‘映上”的,意即目标空间中的任一点对应于变换的源空间中的某一点。用数学术语来说,这种变换称为“同胚”。所以撕裂和打碎的变换是不允许的,但弯曲和伸展的变换是可以接受的。

[ 拓朴性质 ]

拓扑学中允许的变换的类型是如此的一般,致使当我们从所有可能的连续变换中选取变换来变形对象时只有对象的最基本的性质才能保持不变。为此,拓扑学常常被称为“橡皮片几何学”。这反映了下面的思想,即我们可以在像气球的表面或外科医生的手套那样的东西上画各种东西。当我们用伸展、紧缩或其他方法连续变形橡皮片时保持不变的仅有的对象的性质就是我们称之为拓扑性质的那些性质。

那么什么样的性质是拓扑性质呢?有洞就是这样一种拓扑性质。例如,虽然面包圈可以连续地变形为咖啡杯,但不可能把它扭曲并塑造成一只没有洞的棒球。有边(即边界)是另一条拓扑性质。例如,圆周是没有边的,而直线段有边(它的两个端点)。我们无法把圆周连续地变形为直线段,因为任何这样的变换都将把直线段的两个端点映到圆周上的同一个点,从而破坏了变换是—一对应的要求。

[ 拓朴等价 ]

为简单起见,我们只限于讨论有界曲面那样的拓扑空间.粗略地讲,曲面就是任何局部看起来就像是普通的二维平面的拓扑空间。这意味着在这样的空间中走动的一只蚂蚁是看不到该空间的总体的扭曲和转动的,而是认为它是生活在一张平坦的纸那样的空间中,就如同我们人类会认为我们是生活在一个平坦的平面上那样,直到我们登上像协和式飞机或宇宙飞船那样飞得很高的飞行器并实际上看到地球的弯曲时才会发现情况并不那样。

像球面那样的一些曲面是有界的,而像平面 ${R^2}$ 那样的另一些曲面就不是有界的,你可以在球面上走动而永远不可能离开球面,就像我们中的大多数人一生都是在地球表面上走动一样.此外,像平面上的圆盘那样的一些曲面具有边界,而像球面那样的另一些曲面则根本没有边界。这意味着对圆盘来说有一条曲线把它的点“围了起来”,如果你跨过了这条曲线你就可以离开这个曲面。这样一条曲线称为曲面的边界。球面上就没有这样一条曲线;如果你穿过球面上任何一条闭曲线,你仍然在球面上。所以球面是有界的、闭的,但没有边界。无边的连通曲面(全部在一片上的那些曲面)称为闭曲面。所以球面是闭曲面而圆盘不是闭曲面。

[ 拓朴分类 ]

拓扑学的一个主要目的就是试图对所有的拓扑空间进行分类。就闭曲面而言,分类问题归结为提供一张闭曲面的表使得每个闭曲面都能被连续地变形为这张表中的一个而且只有一个曲面。事实上,这张表只包括两类基本不同类型的闭曲面:有环柄的球面和带有所谓的交叉帽的球面。任何其他的闭曲面都可以连续地变形为这两类曲面中的一类。

现在回到对所有的闭曲面进行分类的问题,结果证明:所有闭可定向曲面可以连续变形到一个具有确定个数环柄的球面。环柄的个数g称为曲面的亏格。而所有不可定向的闭曲面拓扑等价于具有确定个数 k (>0) 交叉帽的球面。和可定向曲面的情形一样,k也称为曲面的亏格。

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