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数学常数e的含义

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`e`是一个重要的常数,但是它的直观含义却不像π那么明了。我们都知道,圆的周长与直径之比是一个常数,这个常数被称为圆周率,记作`π=3.14159…`,可是如果我问你,`e`代表了什么,你能回答吗?

不妨先来看看 维基百科 是怎么说的:“`e`是自然对数的底数。”

但是,你去看“ 自然对数 ”这个条目,得到的解释却是:

“自然对数是以`e`为底的对数函数,`e`是一个无理数,约等于2.718281828。”

这构成了循环定义,完全没有说e是什么。在这种情况下,数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很"自然",这难道不是一件很奇怪的事情吗?

  • `e`是增长极限

到底什么是`e`?简单说来,`e`就是 增长的极限

下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释:

某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下,那么很显然,这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式:

`growth= 2^x` (其中x表示天数)

这个式子可以改写成如下的样子:

`growth= (1+100 \%)^x` , 其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内(24小时)的增长率。

根据细胞生物学,每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,平均会新产生一半原数量的新细胞,新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。

因此一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%:

`growth=(1+\frac{100 \%}{2})^2=2.25`

即在一个单位时间内,这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。

倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均`\frac{1}{3}`的新细胞,新生细胞立即具备独立分裂的能力,那就可以将1天分成3个阶段,在一天内时间细胞的总数会增至为:

`growth=(1+\frac{100 \%}{2})^3=2.37037 \cdots`, 即最后细胞数扩大为2.37倍。

实际上,这种分裂现象是不间断、连续的,每分每秒产生的新细胞,都会立即和母体一样继续分裂,一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢?答案是:

`growth=\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{100 \%}{n})^n \end{matrix}=2.718281828 \cdots`

当增长率为100%保持不变时,在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值

这个值是自然增长的极限,是“自然律”的精髓所在,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。

 

  • 你不会自成“大款”——到`e`为止

有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。

假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

答案是: `\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}100(1+\frac{100 \%}{n})^n \end{matrix}=271.8281828 \cdots`.

但是事实上,存储利息没有这么高,如果复利率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢:

`\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}100(1+\frac{5 \%}{n})^n \end{matrix}=?`

我们知道,在100%利息率的情况下,`n=1000`时,下式的值非常接近`e`:

`\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}100(1+\frac{5 \%}{1000})^{1000} \end{matrix} \approx e`

为了便于思考,取n等于50: `100(1+\frac{5 \%}{50})^{50} =100(1+0.1 \%)^{50}`

当利息率是5%时,存款增长率就相当于e的20分之一次方:

`(1+\frac{100 \%}{50})^{50} =[(1+\frac{100 \%}{1000})^{1000}]^{\frac{1}{20}} \approx e^{\frac{1}{20}}`

`\frac{1}{20}`正好等于5%,所以我们可以把上式改写成:

`growth=e^{rate}` 其中`rate`表示利率。

再考虑时间因素,如果存款年限`t`年,那么存款最终增长率为:

`growth=(e^{r})^t=e^{r·t}=e^{rt}`

这说明`e`可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算,而上式也是这个增长率的通用计算公式。

带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利,求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:

` 100·e^{ 5 \% t }=200 `  计算结果得13.86年: 

`t=\frac{ln2}{5 \%} \approx \frac{0.693}{5 \%}=\frac{69.3}{5} \approx \frac {72}{5}`

可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。

编者按:`e` 是“指数”(exponential)的首字母,也是[[欧拉|欧拉]]名字的首字母。和圆周率`π`及虚数单位`i`一样,`e`是最重要的数学常数之一。第一次把`e`看成常数的是[[雅各布•伯努利|雅各布•伯努利]],他开始尝试计算`\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n \end{matrix}`的值,1727年[[欧拉|欧拉]]首次用小写字母“`e`”表示这常数,此后遂成标准。

 

本文来源: 果壳网

原文出处: http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-fu...