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《无穷统帅—康托尔》卢介景著

无穷统帅康托尔

《无穷统帅—康托尔》卢介景著

精彩书摘

戴德金,1831年出生于德国的布伦瑞克,曾就学于格丁根大学,1854年起在该校任教。1858-1862年在瑞士的苏黎世工学院任教授。

什么是连续的本质?从古希腊的柏拉图和亚里士多德开始,经过伽利略和莱布尼茨,直到波尔查诺,都有不尽相同的理解。19世纪初期,人们基本上把有理数的致密性理解为直线的连续性,这当然是不正确的。

1872年,戴德金出版了《连续性和无理数》一书,它以有理数为基础,用崭新的方法定义了无理数,建立了完整的实数理论。戴德金的无理数定义是在对几何直线分划的启发下得出来的。他发现:把直线上的所有点分成两类,使其中一类的每一点都位于另一类中每一点的同侧,则存在一点而且只有一点产生出这种分划。这是直线的连续性的本质表现。这样的分划对有序的有理点是不成立的。这就是说,直线上所有的点能构成连续统,而所有的有理点不能构成连续统。直线的连续性在戴德金的著作中是作为一条公理来使用的。这样,只要用某种方法填补有理数域,使之能同直线上的点一一对应,则数的连续性就建立起来了。戴德金应用“分划”定义了有理数和无理数,并把二者合称为实数。接着,他又在实数系内进行类似的分划,结果发现并不产生新数,且同直线上的点的分划完全一致。于是根据“实数同直线上的点一一对应公理”,便得出实数连续的结论。至此,建立在极限概念基础上的数学分析才有了牢固的基础。

戴德金不是惟一的详细研究连续域性质的人。也是在1872年,康托尔在一篇文章中,用一章的篇幅专门讨论实数问题,特别是无理数问题。

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