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【数学科普】薛定谔方程在行动

原 作: Marianne Freiberger

假设你有一个粒子在一个盒子内的两堵墙之间来回反弹,且粒子只沿着一维的$x$-轴,在两个不能穿过的垂直墙$x = 0$和$x = L$之间运动。在盒子内部没有力作用在粒子上,所以这里它的势能为0,即对$0 < x < L$有$V(x, t) = 0$。当粒子撞击 墙面时,无穷大的力将它推回,故势能$V(x, t)$对$x le 0$和$x ge L$为无穷大。

盒子中的粒子

因为在这个例子中势能不依赖于时间,在盒子内我们可以使用不依赖于时间的一维薛定谔方程:

$$ frac{d^2psi}{dx^2} + frac{8 pi^2 m E psi}{h^2} = 0, hspace{1in} (1) $$

其中$m$为粒子的质量,$E$是它的 总能量,$h=6.626068 times 10^{-34}m^2 kg/s$是普朗克常数。

方程(1)的解是一个函数$psi(x)$,具有下面的一般形式

[ psi(x) = A cos left( sqrt{frac{8 pi^2 m E}{h^2}} x right) + B sin left( sqrt{frac{8 pi^2 m E}{h^2}} x right), hspace{.2in} (2) ]

其中$A$与$B$为任意常数。

当时间为$t$时,在位置$x$处粒子的概率和$|psi(x)|^2$有关。我们知道,因为粒子需要无穷大的能量才能冲出盒子外(即 到达$x < 0$或$x > L$的区域),所以它不可能离开盒子。这意味着当$x < 0$及$x > L$时,$psi(x) = 0$。因为 $psi$在盒子的边界处是连续的,我们得到$psi$在$x = 0$和$x = L$时也为$0$。

第一个边界条件$psi(0) = 0$意味着

[ 0 = A cos 0 + B sin 0 = A, ]

因此我们可以丢掉第一项,这样我们的方程变为

[ psi(x) = B sin left( sqrt{frac{8 pi^2 m E}{h^2}} x right). hspace{0.4in} (3) ]

而第二个边界条件$psi(L) = 0$意味着

[ 0 = B sin left( sqrt{frac{8 pi^2 m E}{h^2}} L right), ......

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