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【数学科普】认知,大脑和黎曼

乔瑟尔•迪农迪奥•基欧

现代神经科学认为与其说数量,空间和时间是外部世界的特性,不如说是当然靠近外部世界时大脑电路产生的结果。该电路判断小于和大于关系。早在19世纪,著名数学家伯纳德•黎曼认为:空间,数量和测度的数学思想不应该依赖于外部世界而是根据相互之间关系抽象定义的。乔瑟尔•迪农齐奥•基偶发现了这两观点之间的相似处。

伯纳德•黎曼(1826-1866)

虽然许多人认为数学是模式的研究,然而经常被期望成为大小的研究 - 比较各种事物在广义意义下的测量。这是把现代数学与算术,代数,几何根源联系起来。与初期相比,数的概念已经发生了相当变化。现在数不仅包括计数,也包括是实数和更奇特的概念比如复数。数学家们也发现欧几里得在2000多年前建立几何学之外的几何学。这使数学更加具有一般性和抽象性。到十九世纪末,数学概念不再依赖于我们的直接经验。数字不应该被理解为一个个数字本身。而应该理解为数字之间的相互作用关系。几何思想不再局限为实际空间的描述。

数学和视觉

因为我们大多数人当我们开始学习计数时就已经开始学习书序,数字看起来似乎是一个基本的想法。古希腊欧几里德几何仍然被许多人认为是空间关系的精确分析。但是如果我们考虑到这些已经熟悉的思想将反映了我们看世界的方式,不难想象其含义依赖更深层次的结构,与一副我们看到自己前面世界的图像依赖于大脑视觉刺激的构建类似。这可能是现代数学,尽管更难理解,但与更基本的感知水平是一致的。

卡尔•弗里德里希•高斯(1777-1855)基督教徒阿尔布雷希特詹森的画。

在十九世纪数学家们尝试解释他们想法的意义和影响,并试图支撑起数学的基础,也许是担心毫无意义的纯粹抽象可能会威胁到自己学科的完整性。他们反思并讨论,他们的工作的意义 -- 它可以解决什么,以及如何。函数是什么?“无限”是否为一个无休止的过程简称,或者是其他事情?在1829年传奇数学家卡尔•弗里德里希•高斯写道,“所有量都是数学研究的目标。”其他量在某种意义下也可以被认为是“依赖与其广延性。”广延量,高斯认为线由着所长度,表面,实体和角度,以及时间和数所描述。他认为非广延量只包括速度,密度,硬度,高度,色调的深度和强度,光的深度和强度和概率。但他同时也提供了一种重要的准则,“量本身不能成为一个数学研究的对象:数学只考虑量之间的关系。”在这里,量和其测度一起考虑,它们各自可以被认为是一个物理量。

高斯的学生黎曼对测度的意义进行了精确......

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