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数学之美:Marden定理

    如果叫我说出一个我最喜欢的数学定理,之前我可能会说 Monge 定理;不过现在,我可能会说 Marden 定理了:

         
 
设 p(z) 是一个复数域上的三次多项式, z1 、 z2 、 z3 是 p(z) 的三个根,它们在复平面上不共线。那么,在这个复平面上存在唯一的椭圆,使得它与三角形 z1z2z3 的各边都相切,并且都切于各边的中点处。并且,这个椭圆的两个焦点是 p'(z) 的两根。

    读完这个结论以后,你一定会被数学之美深深地打动。这个结论出现在了 Morris Marden 于 1945 年发表的一篇论文里,因而被 Dan Kalman 称为 Marden 定理。 Marden 本人则认为,这个结论最早是由 Jörg Siebeck 在 1864 年发现并证明的。下面我们简单地来证明一下这个结论,证明过程出自 Dan Kalman 在 2008 年发表的获奖论文 An Elementary Proof of Marden’s Theorem


    其实,结论的前半部分并不奇怪,对于任意一个三角形,内切于各边中点的椭圆本来就是唯一的。这是很容易证明的,其中一种证明方法是,通过线性变换把这个三角形变形成一个等边三角形,那么内切于各边中点的椭圆现在仍然是内切于各边中点的椭圆,然而在一个等边三角形中,内切于各边中点的椭圆只有一个,就是这个等边三角形的内切圆。关于这一点,详细的证明可以参见这里

    因此, Marden 定理的核心就是:为什么这个椭圆的两个焦点就是 p'(z) 的两根。

    首先,让我们来说明,为了证明 Marden 定理,我们可以把三角形 z1z2z3 放置在复平面上的任意一个对我们有利的位置。因为,如果对于复平面上的某一个三角形来说命题是成立的,那么任意地对这个三角形进行缩放、旋转、平移,命题仍然是成立的。为什么?这是因为,对三角形的缩放、旋转、平移,说白了就是对三角形中的各个点进行变换操作 M(z) = αz + β ,其中 α 和 β 是两个固定的复数常数,并且 α ≠ 0 。让 z 与 α 相乘的结果就是对 z 进行缩放和旋转,而 β 则表示在此之后平移量的大小。假设我们的命题对三角形 z1z2z3 成立,对整个复平面进行上述变换后,三角形的三个顶点就分别移到了 M(z1) 、 M(z2) 、 M(z3) 。同时,三角形的内切椭圆以及椭圆的两个焦点也都被顺带着移动了过去,内切椭圆还是内切椭圆,椭圆的焦点也还是椭圆的焦点。另外,原来的多项式是 p(x) = (z - z1)(z - z2)(z - z3) ,变换之后,新的多项式 pM(x) 就变成了 (z - M(z1))(z - M(z2))(z - M(z3)) 。假设原椭圆的两个焦点分别是 f1 和 f2 ,我们已经知道了它们正好是 p'(z) 的两根。我们想要确认的就是,新椭圆的两个焦点 M(f1) 和 M(f2) 正好就是 pM'(z) 的两个根。

    把 pM(z) 中的 z 全部用 M(z) 代换,得到:

         pM(M(z)) = (M(z) - M(z1))(M(z) - M(z2))(M(z) - M(z3))

    注意到 M(z) - M(z1) 就等于 α(z - z1) (因为 β 被抵消了),同理,上式的后面两个因式也分别等于 α(z - z2) 和 α(z - z3) 。于是,整个上式化简为:

         pM(M(z)) = α3(z - z1)(z - z2)(z - z3)

    即:

         pM(M(z)) = α3 · p(z)

    现在,在等式两边同时取导数(注意到 M'(z) = α ),于是得到:

         α · pM'(M(z)) = α3 · p'(z)

    也就是:

         pM'(M(z)) = α2 · p'(z)

    这说明,如果 f1 是 p'(z) 的根,那么 M(f1) 也将是 pM'(z) 的根;类似地,如果 f2 是 p'(z) 的根,那么 M(f2) 也将是 pM'(z) 的根。这正是我们刚才想要说明的事情。

 

         

    为了证明 Marden 定理,我们还有一个准备工作要做。让我们来证明下面这个引理:如图, F1 、 F2 是给定椭圆的两个焦点,过椭圆外的一点 A 向椭圆作两条切线,切点分别为 G1 和 G2 ,则有 ∠F1AG1 = ∠F2AG2 。其实,这个引理包含了两种不同的情况,如果把上面的 G1 和 G2 两个点反过来标,我们将会得到另外一种情况。不过,如果我们证明了在第一种情况下结论始终成立,第二种情况也就自动地获证了。因此,我们可以直接假设 G1 和 G2 的标法就如上图所示。

         

    证明这个引理需要用到与椭圆有关的一个非常经典的结论:从其中一个焦点出发的光线,射向椭圆内壁的任意一个位置,反射光线总会经过这个椭圆的另外一个焦点。换句话说,在上图当中,过椭圆上的点 T 作切线,则 ∠1 将会等于 ∠2 。你可以在这里看到与椭圆的这个性质有关的更多讨论。

         

    现在,沿着切线 AG1 将 F1 翻折到 H1 ,那么 H1 、 G1 、 F2 将会共线。类似地,沿着切线 AG2 将 F2 翻折到 H2 ,那么 H2 、 G2 、 F1 也将会共线。为了证明 ∠F1AG1 = ∠F2AG2 ,我们只需要证明 ∠F1AH1 = ∠F2AH2 即可。

    由于 H1F2 = H1G1 + G1F2 = F1G1 + G1F2 = F1G2 + G2F2 = F1G2 + G2H2 = F1H2 ,另外由刚才的翻折可知 F1A = H1A ,并且 F2A = H2A ,于是三角形 AH1F2 和三角形 AF1H2 全等。这告诉我们 ∠H1AF2 = ∠F1AH2 ,同时减去一个公共部分后即得 ∠F1AH1 = ∠F2AH2 ,引理也就证到了。

 

    现在,我们已经准备好证明 Marden 定理了。我们首先说明,以 p'(z) 的两根为焦点的椭圆,如果经过三角形 z1z2z3 某条边上的中点,则它一定会与这条边相切。为此,我们把三角形的三个顶点摆放到复平面上的 -1 、 1 和 w = a + bi 三个位置,其中 b > 0 ,于是 p(z) = (z - 1)(z + 1)(z - w) = z3 - w · z2 - z + w 。对 p(z) 求导后得 p'(z) = 3 · z2 - 2 · w · z - 1 。

         

    假设 p'(z) 的两根是 f1 和 f2 ,则两根之和 f1 + f2 = 2 · w / 3 ,两根之积 f1 · f2 = - 1 / 3 。前一个式子说明了 f1 和 f2 当中至少有一个在 x 轴上方,而在后一个式子中, f1 · f2 居然没有虚数部分,这就说明了 f1 和 f2 其实都在 x 轴上方,并且 θ1 + θ2 = 180° 。因而,如果以 f1 和 f2 为焦点,作一个过原点 0 的椭圆,则 x 轴就是一条经过该点的直线,它满足 ∠1 = ∠2 ,这表明 x 轴就是椭圆在该点处的切线。而 x 轴其实就是三角形的底边,原点 0 正是三角形底边的中点!

    由于以同一对点为焦点只能作出一个与给定直线相切的椭圆,因而这就顺便说明了,以 p'(z) 的两根为焦点的椭圆,如果与三角形 z1z2z3 的某条边相切,则它一定会与这条边切于中点处。

 

    最后我们来说明,以 p'(z) 的两根为焦点的椭圆,如果与三角形 z1z2z3 的其中一条边相切了,则它一定会与三角形的三条边都相切。由刚才的推论可知,所有的切点都将会是中点, Marden 定理就证到了。这一次,让我们把三角形的三个顶点放在 0 、 1 、 w = a + bi 三个位置,其中 b > 0 。稍后我们将会看到,以 p'(z) 的两根为焦点并且切于底边的椭圆也会与 0w 相切。由对称性,它一定也会和第三条边相切。

    取 p(z) = z(z - 1)(z - w) = z3 - (1 + w) · z2 + w · z 。求导得: p'(z) = 3 · z2 - 2 · (1 + w) · z + w 。

         

    假设 p'(z) 的两根是 f1 和 f2 。刚才我们已经知道了, f1 和 f2 一定都在 x 轴的上方。不过这一次,两根之积 f1 · f2 等于 w / 3 。这告诉了我们什么?这告诉了我们, θ1 + θ2 = θ ,换句话说, ∠1 = ∠2 !假设以 f1 和 f2 为焦点作了一个椭圆, x 轴正好是一条切线,那么根据前面我们证过的那个结论,经过原点的另一条切线将会满足 ∠1 = ∠2 ,这说明它与 0w 这条线重合。因而, 0w 就是这另外一条切线。这就完成了 Marden 定理的最后一环。