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怎样把一个钝角三角形分成若干个锐角三角形

    这是我最喜欢的几何谜题之一:你能否在纸上画一个钝角三角形,然后把它分割成若干个锐角三角形?令人难以置信的是,这竟然是可以办到的!继续看下去之前,大家不妨先自己想一会儿。

      

    每次我在课堂上提出这个问题的时候,学生们总会疯狂而盲目地进行尝试。根据我的观察,绝大多数人都会先画一个不那么钝的钝角三角形(其实这本质上并不会简化我们的问题),然后作出一系列类似于图 1 的尝试,但最后都以失败告终。此时我往往会反复强调:要有方法啊,要有方法!首先,想必很多人已经注意到了,我们必须在钝角里引出一条线(如图 2 所示),这样才能把钝角给消除掉。接下来,则是很少有人意识到的一点:我们不能让这条线一直延伸到对边,否则原三角形将会被分成一个锐角三角形和一个钝角三角形(或者两个直角三角形),这并不能解决根本问题。也就是说,这条线在到达对边前就必须得分岔。最后一个关键的问题就是,分成几岔?显然,分成三岔(如图 3 所示)是不够的,因为这样只能把一个周角分成四份,它们不可能都是锐角。为了让所有的角都是锐角,我们至少要让这条线分成四岔(如图 4 所示)。最后,再把一些没有连起来的点连起来,我们就得到一个像模像样的答案了(如图 5 所示)。


    有的读者或许会说,等等,等等,你怎么敢肯定,图 5 中的每个小三角形都是锐角三角形呢?其实,我也不敢肯定。不过,我并没有说图 5 就是最终的答案。为了证明确实有一个钝角三角形能被分成若干个锐角三角形,我们需要给出一个确凿的、能供他人进行验证的例子。图 5 并不是一个确凿的例子,但它给我们提供了构造这种例子的思路,或者更贴切地说,构造这种例子的模板。借助这个模板,我们很容易得到下面这种构造方案。

      

    如图,首先,画一个正五边形 ADEFG 。然后,找出它的中心 O ,将它分别与 A 、 D 、 E 、 F 、 G 相连。最后,延长 AD 和 FE 并交于点 B ,延长 AG 和 EF 并交于点 C 。那么,整个大三角形 ABC 将会成为一个顶角为 108° 的等腰三角形。这就是一个绝对让人信服的例子,我们能精确地算出这里面的每个小三角形的每个内角的度数,从而说明每个小三角形的确都是锐角三角形。

 
    那么,能否把任意一个钝角三角形都分割成若干个锐角三角形呢?这下子,问题就变得复杂得多了。为了给出一个肯定的答案,我们必须想出一种能够适用于所有钝角三角形的通用分割方案,并且证明由此产生的小三角形确实都是锐角三角形。这个有名的问题最早出现在 1960 年 3 月的 The American Mathematical Monthly 上,同年 11 月,美国的一位中学数学老师 Wallace Manheimer 给出了下面这个解答。

      

    如图,假设 △ABC 中, ∠BAC 是钝角。作出 △ABC 的内心 I 以及内切圆,将 BI 、 CI 与圆的交点分别记作 M 、 N 。过点 M 作圆的切线,分别与 AB 、 BC 交于 D 、 E ;过点 N 作圆的切线,分别与 AC 、 BC 交于 G 、 F 。最后,把 D 、 E 、 F 、 G 都和内心 I 相连,我们就把整个大三角形分成了 7 个小三角形。

    现在,我们来证明,这些小三角形都是锐角三角形。由于圆的半径垂直于切线,因此 BI⊥DE ;同时, BI 又是 ∠B 的角平分线,因此 △BDE 就是一个等腰三角形。等腰三角形的两个底角一定都是锐角,而这个等腰三角形的顶角 ∠B 也是一个锐角,因此它就是一个锐角三角形。类似地, △CGF 也是一个锐角三角形。另外,五边形 ADEFG 的每个角都是钝角,而容易看出 AI 、 DI 、 EI 、 FI 、 GI 正好都是这些钝角的角平分线,它们把每个钝角都分成了两个大于 45 度的锐角。然而,如果一个三角形有两个大于 45 度的锐角,这个三角形就一定是锐角三角形。因此,五边形 ADEFG 里的五个小三角形也都是锐角三角形了。这样,我们便得到了一种把任意钝角三角形分成 7 个小锐角三角形的方法。

 
    1961 年,美国数学家 Verner Hoggatt Jr. 在 The American Mathematical Monthly 上发表了一篇论文,给出了一个更出人意料的结论:不但任意一个钝角三角形都能被分割成若干个锐角三角形,而且任意一个钝角三角形都能被分割成若干个等腰锐角三角形(即使这个钝角三角形本身不是等腰的)!让我们来看一看他是怎么做到的。

      

    如图,仍然假设 △ABC 中, ∠BAC 是钝角。还是作出 △ABC 的内心 I ,还是以 I 为圆心,不过这一次,让我们以 IA 为半径作圆。这个圆一定会和 △ABC 交于另外四个点,不妨依次记作 D 、 E 、 F 、 G (注意,这四个交点为什么一定存在,这是需要严格说明的,不过这里我们暂且略去)。显然, IA = ID = IE = IF = IG ,因而圆里的五个小三角形都是等腰三角形。过 I 作三角形三边的垂线段 IH1 、 IH2 、 IH3 ,由于内心 I 到三角形三边的距离都相等,因此 IH1 = IH2 = IH3 。那么, △IAD 、 △IAG 、 △IEF 就成为了这么一组等腰三角形,它们拥有相同的腰长,并且底边上的高也都相等。由此可以推出,它们是一组全等三角形。另外,容易证明 △BIH1 和 △BIH3 全等,于是 BH1 = BH3 ;同时, EH1 也是等于 DH3 的,因而 BE 是等于 BD 的,可见 △BDE 是一个以 B 为顶点的等腰三角形。根据同样的道理, △CFG 也是一个以 C 为顶点的等腰三角形。由此可知,图中的所有小三角形都是等腰三角形。

    不过,为什么每个小三角形都是锐角三角形呢?别忘了,等腰三角形的两个底角一定都是锐角,因此,我们只需要说明每个小三角形的顶角也都是锐角就行了。 ∠B 和 ∠C 都是锐角,因而 △BDE 和 △CFG 都是锐角三角形了。不难算出, ∠AID 和 ∠AIG 都等于 180° - ∠BAC ,因而 △IAD 和 △IAG 也都是锐角三角形了。 △IEF 和它俩全等,自然也是一个锐角三角形。那么, △IDE 和 △IFG 呢?仔细算一算你会发现, ∠DIE = ∠BAC - ∠B , ∠FIG = ∠BAC - ∠C ,我们不能保证它们都是锐角。因此,最终我们只得到了一个暂时还不太完美的结果:如果三角形 △ABC 中, ∠A 是钝角,并且 ∠A - ∠B 和 ∠A - ∠C 都小于 90°,那么我们就可以把它分割成 7 个等腰锐角三角形。

      

    如果 ∠A - ∠B 和 ∠A - ∠C 当中至少有一个大于等于 90° ,分割方案就会失效,这时又该怎么办呢? Verner Hoggatt Jr. 想到了极其聪明的一招。如图,仍然假设 ∠BAC 是钝角。剩下的两个角 ∠B 和 ∠C 都是锐角。不妨假设其中 ∠B ≤ ∠C 。我们先在 BC 上截取 BD ,使得 BD = BA (由于大角对大边, BC > BA ,因此这是一定能办到的)。 △BAD 便成了一个以 B 为顶点的等腰三角形。由于顶角 ∠B 是锐角,因而 △BAD 是锐角三角形。有人或许会说,刚才不是说过,这样不能解决根本问题吗? △DAC 仍然是一个钝角三角形呀?不过,这次就不一样了: △DAC 将会满足, ∠1 - ∠2 和 ∠1 - ∠3 都小于 90° !这是因为:

      ∠1 - ∠2 = (180° - ∠4) - ∠2 = (180° - ∠5) - ∠2 = 180° - (∠5 + ∠2) = 180° - ∠BAC < 90°

    并且由 ∠B ≤ ∠C 可知:

      ∠1 - ∠3 ≤ ∠1 - ∠B = (180° - ∠4) - ∠B = 180° - (∠4 + ∠B) = ∠5 < 90°

    套用刚才的分割方案,我们就可以把 △DAC 分成 7 个等腰锐角三角形,从而把整个三角形 △ABC 分成 8 个等腰锐角三角形了。到此为止, Verner Hoggatt Jr. 就完整地证明了,任意一个钝角三角形都可以被分成最多 8 个等腰锐角三角形。

 
      

    从最初的问题出发,我们还可以提出很多其他的扩展问题。比方说,一个正方形最少能被分成多少个锐角三角形?数学趣题大师 Martin Gardner 曾经考虑过这个问题。他“想了好几天,一度以为分成 9 个是最少的,然后就突然想到了一种分成 8 个的方法”,如上图所示。他觉得 8 个锐角三角形应该是最少的了,但却不能证明这一点。随后,数学圈子里出现了好几个严密程度不同的证明。值得一提的是,这个问题还曾经作为一道题目,出现在了 1967 年的 IMO 候选题里。

      

    同样地,我们也可以问,一个正方形最少能被分成多少个等腰的锐角三角形?我们可以先像上图那样把正方形分成四个等腰三角形。其中三个等腰三角形已经是锐角三角形了,利用 Verner Hoggatt Jr. 的方法则可以把最下面那个钝角三角形分成 8 个等腰锐角三角形,于是最终把正方形分成了 11 个等腰锐角三角形。然而,注意到最下面那个钝角三角形其实本来就是等腰的,这对于我们来说非常有利;或许把它分成等腰锐角三角形时,分成 8 个并不是必需的。事实上,利用下图所示的方法,我们可以把它分成 7 个等腰锐角三角形,因而最终把正方形分成了 10 个等腰锐角三角形。不过, 10 个究竟是不是最少的,这似乎还有待进一步探讨。

      

    类似地,对于任意矩形,或者任意凸四边形,或者任意四边形,或者任意 n 边形来说,如何把它们分成尽可能少的锐角三角形,或者把它们分成尽可能少的等腰锐角三角形,这些问题都还有待继续研究。在计算机图形处理中,我们往往需要对图形进行三角剖分;如果所有三角形都是锐角三角形的话,这会给我们带来很多有用的性质。因此,直到现在,人们仍然有足够的动机和热情去研究图形的锐角三角形剖分。关于最近几年这方面的一些进展以及仍然有待解决的问题,可以参见 Carol Zamfirescu 的这篇论文: Survey of two-dimensional acute triangulations