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IMO2015 趣题:平衡的但无中心的点集

2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ,我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ,我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ,我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ,我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。

  1. 证明:对于所有大于等于 3 的正整数 n ,都存在一个由 n 个点构成的平衡点集。
  2. 对于哪些大于等于 3 的正整数 n ,存在由 n 个点构成的平衡的但无中心的点集?

 
 
 
 
 
 
 
 
在第一小问中,如果 n 为奇数,我们只需要在圆周上取 n 个间隔相等的点即可。这 n 个点把圆周分成了 n 段等长的小圆弧。由于 n 为奇数,因此对于任意两点 A 、 B 来说,在优弧 AB 和劣弧 AB 当中,必然是一个包含奇数段小圆弧,一个包含偶数段小圆弧,其中后者上的中点一定也在点集里,不妨把它记作点 C 。由于弧 AC 的长度等于弧 BC ,因此线段 AC 的长度等于线段 BC 。这说明,这 n 个点满足平衡性的要求。
当 n = 4 时,以 O 为圆心作圆,在圆上找出 A 、 B 、 C 三个点,使得 △OAB 、 △OBC 都是等边三角形。容易验证,这四个点是满足要求的。在此基础上,每次再在圆上找两个与点 O 构成等边三角形的点,就能得到 n = 6, 8, 10, 12, … 时的方案。对于圆周上的任意两点,圆心 O 到它们俩等距;对于圆心和圆周上的任意一点,都有至少一个和它们配对的等边三角形,这个等边三角形的第三个顶点到它们俩等距。因此,如此得到的方案都是满足要求的。
所以,对于任意大于等于 3 的正整数 n ,满足要求的方案都是存在的。
 
在第二小问中,若 n 为奇数,那么圆周上的 n 个间隔相等的点即满足要求。我们刚才已经说明了,这样的点集是平衡的。对于圆周上的任意三点来说,到它们距离相等的点都是这个圆的圆心,而圆心并不在点集中,因此这个点集也是无中心的。
接下来,我们将要证明,对于所有的偶数 n = 2k ,满足要求的点集都是不存在的。由于点集满足平衡性,因此对于点集中的任意两个点 A 、 B ,我们都能找到一个与它们等距的点 C 。我们就说,点 C 平衡了 (A, B) 这一对点。显然,任意一个点最多都只能平衡掉 k – 1 对点,否则被它平衡的点将会有重复,从而不满足无中心的条件。然而,所有可能的点对数量为 2k · (2k – 1) / 2 = 2 · k2 – k ,这里面最多只有 2k · (k – 1) = 2 · k2 – 2 · k 个点对能被平衡掉。这就说明,满足要求的点集是不存在的。