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2015年国际数学奥林匹克数学竞赛(IMO)试题

 

 

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2015年国际数学奥林匹克数学竞赛(IMO)试题

 

每题7分,共6题

 

 

 

 

 

第一天 2015年7月10日

 

第1题 我们称平面上一个有限点集$\mathcal{S}$是平衡的,如果对$\mathcal{S}$中任意两个不同的点$A,B$,都存在$\mathcal{S}$中一点$C$ ,满足$AC=BC$。我们称$\mathcal{S}$是无中心的,如果对$\mathcal{S}$中任意三个不同的点$A,B,C$,都不存在$\mathcal{S}$中一点$P$ ,满足$PA=PB=PC$。
(a)证明:对每个整数$n\ge3$,均存在一个由$n$个点构成的平衡点集。
(b)确定所有的整数$n\ge3$,使得存在一个由$n$个点构成的平衡且无中心的点集。

第2题 确定所有三元正整数组$(a,b,c)$,使得
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ab-c~,~bc-a~,~ca-b $
中每个数都是$2$的方幂。
($2$的方幂是指形如$2^n$的整数,其中$n$是一个非负整数。)

第3题 在锐角三角形$ABC$中,$AB>AC$,设$\Gamma$是它的外接圆,$H$是它的垂心,$F$是由顶点$A$所引高的垂足,$M$是边$BC$的中点。$Q$是$\Gamma$上一点,使得$\angle HQA=90^\circ$,$K$是$\Gamma$上一点,使得$\angle HKQ=90^\circ$。已知点$A,B,C,K,Q$互不相同,且按此顺序排列在$\Gamma$上。
证明:三角形$KQH$的外接圆和三角形$FKM$的外接圆相切。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

第二天 2015年7月11日

第4题 在三角形$ABC$中,$\Omega$是其外接圆,$O$是其外心。以$A$为圆心的一个圆$\Gamma$与线段$BC$交于两点$D$和$E$,使得点$B,D,E,C$互不相同,并且按此顺序排列在直线$BC$上。设$F$和$G$是$\Gamma$和$\Omega$的两个交点,并且使得点$A,F,B,C,G$按此顺序排列在$\Omega$上。设$K$是三角形$BDF$的外接圆和线段$AB$的另一个交点。设$L$是三角形$CGE$外接圆和线段$CA$的另一个交点。
假设直线$FK$和$GL$不相同,且相交于点$X$。证明:$X$在直线$AO$上。

第5题 设$\mathbb{R}$是全体实数的集合。求所有的函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,满足对任意实数$x,y$,都有
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$

第6题 整数序列$a_1,a_2,\cdots$满足下列条件:
(i) 对每个整数$j\ge1$,有$1\le a_j\le2015$;
(ii) 对任意整数$1\le k< \ell$,有$k+a_k\not=\ell+a_\ell$。
证明:存在两个正整数$b$和$N$,使得
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left|\sum\limits_{j=m+1}^{n}(a_j-b)\right|\le 1007^2$
对所有满足$n>m\ge N$的整数$m$和$n$均成立。

 

 

 

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