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趣题:顶点数为多少的图有可能和自己互补

若干个顶点以及某些顶点和顶点之间的连线,就构成了一个“图”。如果对某个图进行变换,使得原来任意两个有连线的顶点之间都不再有连线,原来任意两个没有连线的顶点之间现在都有连线了,那么所得到的图就是原来那个图的“补图”。如果一个图和它的补图具有本质上完全相同的结构(这意味着,把其中一个图的顶点以适当的方式与另一个图的顶点建立一一对应的关系,那么对于谁和谁之间有连线、谁和谁之间没有连线这样的问题,两个图的情况是完全一样的),我们就说这个图和它自己是互补的。下图显示了一个顶点数为 5 的图以及它的补图,容易看出,它们的本质结构是相同的。这说明,顶点数为 5 的图有可能和自己互补。

下图显示了一个顶点数为 8 的图,它和它的补图也具有同样的本质结构(你能看出来吗)。这说明,顶点数为 8 的图也有可能和自己互补。

我们今天的问题是:对于那些正整数 n ,存在顶点数为 n 的与自己互补的图?

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
如果一个图有 n 个顶点,那么它总共就有 n(n-1) / 2 条可能的连线。显然,一个图要想和自己互补,它里面的连线数必然是 n(n-1) / 2 的一半,因此 n(n-1) / 2 必须得是偶数。这说明, n 只能等于 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 17, … ,即那些形如 4k 和 4k + 1 的数。
接下来,我们将会构造性地说明,对于上述的每一个 n ,顶点数为 n 的图都确实有可能和自己互补。当 n = 1 时,整个图只有 1 个顶点,没有任何连线,根据定义,它和它自己是互补的。当 n = 4 时,一条简单的“链”便满足要求:不妨把这 4 个顶点分别记作 x 、 y 、 z 、 w ,那么 x – y – z – w 的补图就是 y – w – x – z ,整个图的本质结构并未发生改变。
另外,对于任意一个有 k 个顶点的且与自己互补的图,在它外面添加一根由 4 个新顶点组成的链条 x – y – z – w ,再把顶点 x 与所有 k 个顶点都相连,把 w 也与所有 k 个顶点都相连。容易看出,整个图现在就有 k + 4 个顶点了,并且这个新的图也和自己是互补的。

因此,我们就可以从 n = 1 和 n = 4 的情形出发,借助上面的扩展方法,依次得到 n = 5, n = 8, n = 9, n = 12, … 的构造。这立即说明,对于所有形如 4k 和 4k + 1 的正整数 n ,顶点数为 n 的图都确实有可能和自己互补。
问题及解答出自 2000 年 Stephan C. Carlson 在 Mathematics Magazine 的一篇文章。我是在 Proofs Without Words 2: More Exercises in Visual Thinking 一书中看到这个问题的。