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被人们忽略“穷”猜想(三):箱式乘积问题

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导读语: 近十几年来,给数学猜想玩百万级悬赏似乎成了一种时尚。先有2000年3月Faber为哥德巴赫猜想给出100万美元悬赏,要求人类尽快把猜想两字改成定理。然后克雷研究所紧随其后,在5月悬赏700万美元,给出包括黎曼猜想、庞加莱猜想在内的7个问题的悬赏,每个100万,俗称“千禧年问题”。2013年,美国数学会发布消息,比尔猜想悬赏也提高到了100万美元。除了具体的数学问题的悬赏,对数家本身也进行百万级悬赏表彰。2002年,邵逸夫数学奖100万美元。2014年,科学突破数学奖300万美元。虽然数学家们并不以追逐奖金为数学研究的动力,但俗话说,重赏之下必有勇夫,在高额奖金刺激下,一定会有更多人投入到数学研究的行列中的。比如说比尔猜想,在没有100万的刺激之前,关注度定不会像现在这样高的。然后,还有一些数学猜想,表述简单,但难度极大,几十年没有解决。这些问题,有的没有公开的悬赏,有的即使有悬赏,赏金也没有达到100万美元之巨。但这些问题,在很多人心目中,同样值100万美元。

哆嗒数学网-被人们忽略穷的猜想这是哆嗒数学网《被人忽略的“穷”猜想》系列第三篇:箱式乘积问题。学过拓扑的同学都知道,对于实数集的可数无穷笛尔卡乘积$R^ω$的拓扑有两种生成方式。第一种,也是最常用的,叫做吉洪诺夫(Tychonov)乘积,就是取所有形如有限个开区间与剩下无限个R做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这样,好处是可以保持很多有限乘积拓扑的性质。另外一种做法,虽然不常用,但想法却很自然,就是用所有开区间做笛尔卡乘积来生成拓扑空间。这个叫做箱式乘积(Box Product),生成的拓扑叫做箱式拓扑(Box Topology)。箱式拓扑,一般大家不太喜欢因为很多性质不太好。比如说紧空间的乘积可能不紧,$R^ω$甚至都不可能成为度量空间。虽然不太喜欢,但我们可以提问。箱式乘积问题(The Box Product Problem)是问:实数集的可数无穷箱式乘积是否是正规空间。即对其中任意两个不相交的闭集,是否存在分离它们的开集。如果把可数的条件换成不可数在1994年被证明不是正规空间。而可数无穷的情况,在那之前的20多年前的1972年,在承认连续统假设的情况下,证明了猜想是成立的。但这不是大家想要的结果,但最少说明猜想本身一定不是假命题。现在只剩两种可能,要么猜想真成立,要么猜想是不可判定的命题。如果是后者,从以往的情况来看,问题将会变成非常麻烦。纽约州立大学水牛城分校的教授Scott W. Williams给这个问题的悬赏是42美元。问题提出已经过了三、四十年了,上网查了查,没有查到这个奖金是否一直没变过……

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