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世界名画中的数学21—易维d

如果莫比乌斯带是“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”,那么克莱因瓶就是“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”。在数学中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的封闭曲面,却没有“内部”和“外部”之分。这个瓶的结构在我们可见的三位空间里的素白描述是在一个瓶子底部有一个洞,延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。和普通的杯子不一样,这个物体没有“”,它的表面不会终结。它也不同于气球,一只小虫可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像,同样是二维曲面,莫比乌斯带把普通曲面的两面变成了一面,还保持着一条边,而克莱因瓶不仅只有一面,连边也消灭了。不过克莱因瓶在三维空间里也展示不了其特性,只有在四维空间里才可以,比莫比乌斯带要求的维数高了一维,也有人称其为高维的莫比乌斯环。如果我们一定要把它展现在我们生活的三维空间中,我们只好让它穿越自己,就像我们强求莫比乌斯带在二维空间里展现一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。也就是说克莱因瓶是一个处于四维空间中的曲面。

 

埃舍尔在他画面上的维数戏法已不满足于在我们熟悉的二维和三维空间里玩,而是直指更高维。莫比乌斯带已不够埃舍尔折腾,那么克莱因瓶就是下一道菜,当然这道菜埃舍尔想要在二维画面上做实在是有点勉为其难了。下面的这幅版画“龙”(Dragon,1952)就是埃舍尔的高维尝试。画面上那条有点疯狂的反叛龙用武装到牙齿的嘴巴咬住了穿过了自己身体的柔软的尾巴,整个形象像极了一只克莱因瓶。只不过龙的嘴巴只是咬住而没有超越现实地无缝连接起来使之成为一个完整的克莱因瓶。但作为艺术表现埃舍尔已达到了目的:这条反叛龙如果身体完美无伤,那它就只能存在于四维空间里,而埃舍尔想在二维空间里表现它已经是黔驴技穷了。在二维画面上,我们甚至可以看到龙的翅膀和身体上的两个明显的裂口,它们暗示着这条龙只是一条具有二维龙面的三维龙在二维平面上展示其在四维空间里的扭转。或许这两个裂口是埃舍尔的有意为之,想表达处于低维空间里对刻画高维物体的局限。有意思的是,龙本身就是一个想象的生物,用一个想象的生物描述一个想象的高维空间,这不能不体会到埃舍尔的良苦用心。


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