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世界名画中的数学17—变换c

我们很多人都看过哈哈镜,看着镜中各种扭曲变形的自己之像就会忍俊不禁地哈哈大笑。物理学家告诉我们,这种现象是因为镜面凹凸不平的原因所致。换句话说,我们看到了在另一个弯曲扭屈空间的自己的形象。尽管经过了变形,那个变了形的形象仍然保持着我们的很多特征。在数学上我们把两个空间的对应叫做变换,也特别有兴趣什么样的特征在什么样的变换下保持不变,例如保角变换,共形变换等。

 

埃舍尔娴熟地应用各种变换技巧,使得他的画充满着哈哈镜般的喜剧效果。上面的这幅画叫“阳台(Balcony,1945)”,它通过局部的球形变换,突出了整个建筑物中一个阳台。阳台上还有一盆被放大的看起来有一两层楼高的盆栽植物。但这盆植物却起着画龙点睛的作用,一下子使画面充满生机。这幅画使人感觉到那个阳台是被吹大的,而那个阳台门就象是吹气口,这对当时普通建筑物当然是不可能的,所以画中的建筑更像是童话中的城堡或者是孩子手里的玩具。这说明了埃舍尔具有超强的想象力和至纯至朴的童真情怀。然而从冷峻的数学眼光看,这只不过是对普通的建筑物作了一次小小的变换。后来,很多建筑家从埃舍尔的画中找到灵感,加上理论和计算机的发展,使得在实际中建造扭曲建筑成为可能。

在数学的变换对应中,将高维空间的函数映射到低维子空间上叫投影。同样的函数在不同的子空间上会得到不同的投影。平面是三维空间的子空间,我们也可以把球面看作是同一个三维空间的另一个子空间。有一种一对一的变换将整个平面加上无穷远点变换到了整个球面上。在复变函数里我们把这样的平面称为复平面,这样的球面称为黎曼球面。在上面的名为“手持反射球(Hand with Reflecting Sphere,1935)”的画中,埃舍尔用画笔在球面上把自己的自画像投影出来,特别寓意着自己独立特行,超越平庸的特性。自画像一般是将自己三维的形象投影到平整画面上,如同在平整镜面上看到的自己。而埃舍尔拿着一个球面,将平整镜面的像投影到了球面上,并把自己的形象以及背景都在球面上反映出来。有趣的是,画面本身是一个二维的平面,埃舍尔利用如透视、光线等绘画技巧画三维空间里弯曲的球面,再在球面上画投影,然后把这个弯曲球面再投影到平整的二维画面上,顺便通过景弯把平面画拉向纵深。在这幅画中,有不小的篇幅画了只托球的手,让人联想到作者作画的手,好像这只手边作画变伸进了画面,伸进了另一个空间,而这只手在球面中变换最大,甚至大过了人体,对比格外强烈。除了手和埃舍尔本人,还有他背后的环境。从理论上讲,这个影射可以把整个世界映在球面上。除了球面,埃舍尔还在不同的曲面上尝试画过自己的自画像。埃舍尔利用高低维之间的奇性和异质,玩这样的游戏乐此不疲。

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