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世界名画中的数学15—变换a

变换,是指事物的一种形式或内容换成另一种,而在数学上的含义是指将一种状态或一个空间转到到另一个。这种转换形式可以是渐变,也可以是突变;可以是必然,也可以是或然。最简单的变换就是人人都懂得平移、旋转、反射等简单的图形变换。抽象一下,最简单的数学变换形式就是函数,它建立了自变量和应变量之间的关系。我们再往前走一步,从一个函数转换成另一个函数也叫变换。例如有两个函数f(x)和g(x),我们可以构造一个新的函数F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x),那么我们就可以把这两个函数联系起来了,并且在 t =0 和 t =1时,F(x,t)分别为f(x)和g(x)。而当t从0变到1时F(x,t)就从f(x)渐变到g(x)。这样我们找到一个方法将这两个函数连起来,然后沿着连接的路径从一个函数走到另一个函数,并且把这个路径记录下来,我们就看到了函数是怎么变换的,当然这是一条最直接的路径。

       这段话是典型的数学语言,有些读者也许听起来有点晦涩,然而埃舍尔却用他的画笔轻松形象地表现出来了。埃舍尔把这种变换称为变形,通过图形的渐变,把一种东西变成另一种东西,下面一幅画《变形I》(Metamorphosis I, 1937)就是他在这方面的代表作。这幅画将人渐变成一座城市,这里我们可以把f(x)看作是人,而把g(x)看作是城市。埃舍尔的画艺术地复原了这个渐变过程。

   下面的埃舍尔的《变形II》(Metamorphosis II, 1940)很长(Metamorphosis III 更长),不仅渐变从英文Metamorphosis,开始,通过棋盘、蜥蜴、蜂巢、鱼、鸟、立方、城市、棋盘又循环变了回来到Metamorphosis,完成了一个周期,并且来回的路径是不一样的。

   在计算机发达的今天,我们可以通过计算机将很多不同的图形连接起来,如将两张不同的脸连起来,然后展示从这张脸变成另一张脸的渐变过程,我们就会发现与埃舍尔的画异曲同工的效果。然而埃舍尔却是在没有计算机的年代感悟到这过程背后的数学。

   其实埃舍尔走得更远。如果我们说的两个函数在不同的空间里,那怎么变?原来的方法可能不管用了。也就是说,你不可能找到一条直接的路径将它们连起来。在数学上我们会通过“加参数”的手段构造一个新的函数,而原来的两个函数分别是它们在各自空间的“投影”。例如我们再构造一个函数G(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)i,,多了一个i虚维度,这时G(x,t)是定义在复空间上的一个复变函数,从另一个意义上来说,它连接了虚实两个空间。特别地,t =0时,G(x,0)=f(x)是实空间函数,t =1时,G(x,1)=g(x)i 是虚空间函数。当t从0变到1时就从实空间函数渐变到了虚空间函数。通过这个复变函数,我们就可以把实空间的函数渐变到虚空间的函数。我们来看看,埃舍尔又是怎样来表现这件事的。

 

   上面这幅画叫《天与水》(Sky and Water I, 1938)。埃舍尔也画出了一种变换,与《变形》不同的是,不是物体的直接变形,而是背景与物体同时变形,互为衬托。我们可以把水看作是实空间,天看作是虚空间。这幅画里两个空间共存,各有特征,互为背景,通过渐近完成了从实空间的鱼到虚空间上的鸟的变换。两个空间里的两种生物以这样的形式连接起来,真是“海阔凭鱼跃,天高任鸟飞!”

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