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世界名画中的数学14—互耦

这集,我们聊聊埃舍尔的互耦。

中国很早的古代哲学中的阴阳说就有互耦的思想,太极阴阳八卦图就是一个典型而简单的互耦图形。这个图形已然成为重要的东方符号,甚至可以说是中国人的精神图腾。

元代书画家赵孟頫的夫人管道升所做的《我侬词》更用优美的文笔将互藕发扬光大:

“尔侬我侬,忒煞情多。情多处,热似火。捻一个尔,塑一个我。将咱两个一起打破,用水调和。再捏一个你,再塑一个我。我泥中有尔,尔泥中有我。我与你,生同一个衾,死同一个椁。”

管道升的互耦表达了水乳交融密不可分的爱情。

埃舍尔对互耦有着独到的感觉,他的画充满这互耦的隐喻,不仅将互耦直观化,而且表现了互耦的转化过程。 

他最出名的画之一是“白天与黑夜(Day and Night,1938)”。

这副画的色彩非常简明,一如主题白与黑。画面左右出现了一个镜像但黑白对称的图案,似乎分别代表有城有河有田同一个地方同一种景色的白天与黑夜。但令人称奇的是白天黑夜的过渡却是通过画中元素的变形渐近实现的。特别是那一列飞雁,互耦着穿过画面,把白天和黑夜连接起来,反映了一件事物的两面,隐喻着黑白既对立又依托,在一定条件下互相转换的关系,十分耐人寻味。人们不得不感叹埃舍尔的神来之笔。

用互耦画镶嵌是埃舍尔的最爱,他有很多各种各样的镶嵌,表现了对称、守恒和互耦这些数学的基本元素。下面的这幅“骑马人(Horseman,1946)”描述了棕白两队相向却形同的骑马人互耦着将画面完全填满,构成了一副规整的画面。因为发现在基本粒子的弱相互作用中的宇称不守恒定律,与李政道共同获得1957年诺贝尔物理学奖杨振宁所著《基本粒子发现简史》一书将这副画用作封面上。大概画面所隐含的某些信息与杨先生的高深理论不谋而合。

 

说到互耦,埃舍尔最神奇的一幅画可能要算下面的这幅“画手的手(Drawing Hands,1948)”。画中两只从二维画布上伸出的在三维空间里对称的持笔的手在二维画布上互相描绘着。这已经超出了“你中有我,我中有你”的简单互耦,而成了“你正塑我,我正塑你”的互动关系。而这种互动超越了所处空间的维数,升华到了更高维的空间。管道升所提到的塑互耦,好像还有个充当第三者的上帝之手在塑,而埃舍尔直接就通过“升维”让自己互塑了。这幅看似诡异的画却意味深长,至少把数学中迭代和升维的思想揭示地淋漓尽致。有很多实际问题转换成数学问题,其变量互相搅合,难以解出。但如果把它们放到高维空间里统一考虑,需要的话进行反复迭代,很多问题就迎刃而解了。这种“升维”的思想在埃舍尔的很多画里都有表现,表达着不同的目的意向。这幅画里所隐含的互耦思想真是把互耦说到了极致。

 

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