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杨辉三角中的自然底数 e

你相信吗,杨辉三角里竟然也有自然底数 e 的身影。 2012 年, Harlan Brothers 发现了杨辉三角中的一个有趣的事实。不妨把杨辉三角第 n 行的所有数之积记作 sn ,那么随着 n 的增加, sn · sn+2 / sn+12 会越来越接近 e ≈ 2.718 。事实上,我们有:

这是为什么呢? John Baez 在这个网页上给出了一个漂亮的解释。

 

首先,让杨辉三角 (A) 里面的每个数都除以它左下角的那个数,于是得到了图 (B) 所示的三角形数阵。你会发现,这个数阵里有一个很明显的模式,即第 n 行的所有数分母都是 n ,分子则分别是 n, n-1, …, 2, 1 。这并不是巧合。这是因为:

接下来,让图 (B) 里的所有数都除以它右下角的那个数,于是得到了图 (C) 所示的三角形数阵。容易看出,这个数阵第 n 行的所有 n 个数应该都是 (n + 1) / n = 1 + 1/n ,它们乘起来等于 (1 + 1/n)n 。随着 n 的增加,这个数会越来越接近 e 。最后,让我们追溯一下图 (C) 中每个数的来源。图 (C) 中第 n 行的每个数都等于图 (B) 中第 n 行的某个数除以第 n + 1 行的某个数,进而等于图 (A) 中第 n 行的某个数除以第 n + 1 行的某个数的结果,除以第 n + 1 行的某个数除以第 n + 2 行的某个数的结果。因此,图 (C) 中第 n 行的所有数乘起来,结果正是 sn · sn+2 / sn+12