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2012年福建高考理数

数学题库

高中数学

1. 若复数 $z$ 满足 $z \mathrm i=1- \mathrm i$, 则 $z$ 等于 A. $-1- \mathrm i$ B. $1- \mathrm i$ C. $-1+ \mathrm i$ D. $1+ \mathrm i$
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2. 等差数列 $\{a_n\}$ 中, $a_1+a_5=10$, $a_4=7$, 则数列 $\{a_n\}$ 的公差为 A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
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3. 下列命题中, 真命题是 A. $\exists x_0 \in\textbf{R}$, $e^{x_0} \leq 0$ B. $\forall x\in\mathbf{R}$, $2^x > x^2$ C. $a+b=0$ 的充要条件是 $\dfrac{a}{b}=-1$ D. $a>1$, $b>...
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4. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等, 那么这个几何体不可以是 A. 球 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 圆柱
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5. 下列不等式一定成立的是 A. $\lg(x^2+\dfrac{1}{4}) > \lg x~(x>0)$ B. $\sin x+\dfrac{1}{\sin x} \geq 2~(x \neq k\pi,k \in \mathbf Z)$ C. $x^2+1 \geq 2|x|~(x \in \mathbf R)$ D....
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6.积分应用

6. 如图所示, 在边长为 $1$ 的正方形 $OABC$ 中任取一点 $P$, 则点 $P$ 恰好取自阴影部分的概率为 (     ) A. $\dfrac{1}{4}$ B. $\dfrac{1}{5}$ C. $\dfrac{1}{6}$ D. $\dfrac{1}{7}$
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7. 设函数 $D(x)=\begin{cases}1,~x为有理数,\\0,~x为无理数, \end{cases}$ 则下列结论错误的是 A. $D(x)$ 的值域为 $\{0,1\}$ B. $D(x)$ 是偶函数 C. $D(x)$ 不是周期函数 D. $D(x)$ 不是单调函数
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8. 已知双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点与抛物线 $y^2=12x$ 的焦点重合, 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A. $\sqrt5$ B. $4\sqrt2$ C. $3$ D. $5$
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9. 若函数 $y=2^x$ 的图象存在点 $(x,y)$ 满足约束条件 $\begin{cases} x+y-3 \leq 0,\\x-2y-3 \leq 0,\\x \geq m ,\end{cases}$ 则实数 $m$ 的最大值为 A. $\dfrac{1}{2}$ B. $1$ C. $\dfrac{3}{2}$ D....
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10. 函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义, 若对任意 $x_1,x_2 \in [a,b]$, 有 $f(\dfrac{x_1+x_2}{2}) \leq \dfrac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$, 则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有性质 $P$. 设 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上具有性质 $P$, 现给出下列命题:$①~f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的图象是连续不断的;$②~f(x^2)$ 在 $[1,\sqrt3]$ 上具有性质 $P$;$③$ 若 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得最大值 $1$, 则 $f(x)=1$, $x \in [1,3]$;$④$ 对任意 $x_1,x_2,x_3,x_4 \in [1,3]$, 有 $f(\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}) \leq \dfrac{1}{4}[f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+f(x_4)]$.其中真命题的序号是 A....
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11. $(a+x)^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数等于 $8$, 则实数 $a=$
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12. 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 $s$ 值等于
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13. 已知 $\triangle ABC$ 的三边长成公比为 $\sqrt2$ 的等比数列, 则其最大角的余弦值为
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14. 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n=n \cos \dfrac{n\pi}{2}+1$, 前 $n$ 项和为 $S_n$, 则 $S_{2012}=$
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15. 对于实数 $a$ 和 $b$, 定义运算“$*$”: $a * b=\begin{cases}a^2-ab,a \leq b,\\b^2-ab,a > b.\end{cases}$ 设 $f(x)=(2x-1)*(x-1)$, 且关于 $x$ 的方程 $f(x)=m~(m \in \mathbf R)$ 恰有三个互不相等的实数根 $x_1,x_2,x_3$, 则 $x_1x_2x_3$ 的取值范围是
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16. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响, 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关. 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车, 保修期均为 $2$ 年. 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 $50$ 辆, 统计数据如下;.tab {border-left:1px solid #000;border-top:solid 1px #000;cellpadding="0"; cellspacing="0"; margin:0 auto;border-collapse:collapse;}.tab td {border-bottom:1px solid #000;border-right:solid 1px #000;text-align:center; width:100px;height:25px;}品牌 甲 乙 首次出现故障时间 $x$ (年) $0 < x \leq 1$ $1 < x \leq 2$ $x > 2$ $0 < x \leq 2$ $x > 2$ 轿车数量 (辆) $...
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17. 某同学在一次研究性学习中发现, 以下五个式子的值都等于同一个常数: (1) $\sin^2 13^\circ+\cos^2 17^\circ-\sin 13^\circ \cos 17 ^\circ$; (2) $\sin^2 15^\circ+\cos^2 15^\circ-\sin 15^\circ \cos 15 ^\circ$; (3) $\sin^2 18^\circ+\cos^2 12^\circ-\sin 18^\circ \cos 12 ^\circ$; (4) $\sin^2 (-18^\circ)+\cos^2 48^\circ-\sin (-18^\circ) \cos 48 ^\circ$; (5) $\sin^2 (-25^\circ)+\cos^2 55^\circ-\sin (-25^\circ) \cos 55 ^\circ$; (I) 试从上述五个式子中选择一个, 求出这个常数; (II) 根据 (I) 的计算结果, 将该同学的发现推广为三角恒等式, 并证明你的结论.
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18. 如图, 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $AA_1=AD=1$, $E$ 为 $CD$ 的中点. (I) 求证: $B_1E \perp AD_1$; (II) 在棱 $AA_1$ 上是否存在一点 $P$, 使得 $DP//$ 平面 $B_1AE$? 若存在, 求 $AP$ 的长; 若不存在, 说明理由; (III) 若二面角 $A-B_1E-A_1$ 的大小为 $30^\circ$, 求 $AB$ 的长.
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19. 如图, 椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_1$, 右焦点为 $F_2$, 离心率 $e=\dfrac{1}{2}$. 过 $F_1$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点, 且 $\triangle ABF_2$ 的周长为 $8$. (I) 求椭圆 $E$ 的方程; (II) 设动直线 $l:y=kx+m$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $P$, 且与直线 $x=4$ 相交于点 $Q$. 试探究: 在坐标平面内是否存在定点 $M$, 使得以 $PQ$ 为直径的圆恒过点 $M$? 若存在, 求出点 $M$ 的坐标; 若不存在, 说明理由.
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20. 已知函数 $f(x)=e^x+ax^2-ex,~a \in \mathbf R$. (I) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线平行于 $x$ 轴, 求函数 $f(x)$ 的单调区间; (II) 试确定 $a$ 的取值范围, 使得曲线 $y=f(x)$ 上存在唯一的点 $P$, 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $P$.
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