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2005年浙江高考理数

数学题库

高中数学

1. $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1+2+3+\cdots+n}{n^2}=$ A. $2$ B. $1$ C. $\dfrac{1}{2}$ D. $0$
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2. 点 $(1,-1)$ 到直线 $x-y+1=0$ 的距离是 A. $\dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{3}{2}$ C. $\dfrac{\sqrt2}{2}$ D. $\dfrac{3\sqrt2}{2}$
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3. 设 $f(x)=\begin{cases}|x-1|-2,~&|x| \leq 1,\\ \dfrac{1}{1+x^2},&|x|>1, \end{cases}$ 则 $f[f(\dfrac{1}{2})]=$ A. $\dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{4}{13}$ C. $-\dfrac{9}{5}$...
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4. 在复平面内, 复数 $\dfrac{\mathrm i}{1+\mathrm i}+(1+\sqrt3 \mathrm i)^2$ 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
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5. 在 $(1-x)^5+(1-x)^6+(1-x)^7+(1-x)^8$ 的展开式中, 含 $x^3$ 的项的系数是 A. $74$ B. $121$ C. $-74$ D. $-121$
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6. 设 $\alpha、\beta$ 为两个不同的平面, $l、m$ 为两条不同的直线, 且 $l \subset \alpha$, $m \subset \beta$. 有如下两个命题:① 若 $\alpha // \beta$, 则 $l//m$;  ② 若 $l \perp m$, 则 $\alpha \perp \beta$.那么 A. ① 是真命题, ② 是假命题 B. ① 是假命题, ② 是真命题 C. ① ② 都是真命题...
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7. 设集合 $A=\{(x,y)|x,y,1-x-y$ 是三角形的三边长$\}$, 则 $A$ 所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分) 是 A. B. C. D.
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8. 已知 $k <-4$, 则函数 $y=\cos 2x+k(\cos x-1)$ 的最小值是 A. $1$ B. $-1$ C. $2k+1$ D. $-2k+1$
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9. 设 $f(n)=2n+1~(n \in \mathbf N)$, $P=\{1,2,3,4,5\}$, $Q=\{3,4,5,6,7\}$. 记 $\hat P=\{n \in \mathbf N|f(n) \in P\}$, $\hat Q=\{n \in \mathbf N|f(n) \in Q\}$, 则 $(\hat P \cap \complement_{\mathbf N}\hat Q)\cup (\hat Q \cap \complement_{\mathbf N}\hat P)=$ A. $\{0,3\}$ B. $\{1,2\}$...
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10. 已知向量 $\overrightarrow a\neq \overrightarrow e$, $|\overrightarrow e|=1$ 满足: 对任意 $t \in \mathbf R$, 恒有 $|\overrightarrow a-t\overrightarrow e| \geq |\overrightarrow a-\overrightarrow e|$, 则 A. $\overrightarrow a \perp \overrightarrow e$ B. $\overrightarrow a \perp (\overrightarrow a-\overrightarrow e)$...
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11. 函数 $y=\dfrac{x}{x+2}~(x \in \mathbf R$, 且 $x \neq -2)$ 的反函数是 .
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12. 设 $M、N$ 是直角梯形 $ABCD$ 两腰的中点, $DE \perp AB$ 于 $E$ (如图). 现将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起, 使二面角 $A-DE-B$ 为 $45^\circ$, 此时点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B$, 则 $M、N$ 的连线与 $AE$ 所成角的大小等于 .
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13. 过双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>0,b>0)$ 的左焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线相交于 $M、N$ 两点, 以 $MN$ 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点, 则双曲线的离心率等于 .
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14. 从集合 $\{O,P,Q,R,S\}$ 与 $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 中各任取 $2$ 个元素排成一排 (字母和数字均不能重复). 每排中字母 $O、Q$ 和数字 $0$ 至多只出现一个的不同排法种数是 (用数字作答).
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15. 已知函数 $f(x)=-\sqrt3 \sin^2x+\sin x\cos x$. (I) 求 $f(\dfrac{25\pi}{6})$ 的值; (II) 设 $\alpha \in (0, \pi)$, $f(\dfrac{\alpha}{2})=\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt3}{2}$, 求 $\sin \alpha$ 的值.
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16. 已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称, 且 $f(x)=x^2+2x$. (I) 求函数 $g(x)$ 的解析式; (II) 解不等式 $g(x) \geq f(x) -|x-1|$.
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17. 如图, 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点 $F_1、F_2$ 在 $x$ 轴上, 长轴 $A_1A_2$ 的长为 $4$, 左准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$, $|MA_1|:|A_1F_1|=2:1$. (I) 求椭圆的方程; (II) 若直线 $l_1:x=m~(|m|>1)$, $P$ 为 $l_1$ 上的动点, 使 $\angle F_1PF_2$ 最大的点 $P$ 记为 $Q$, 求点 $Q$ 的坐标 (用 $m$ 表示).
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18. 如图, 在三棱锥 $P-ABC$ 中, $AB\perp BC$, $AB=BC=kPA$, 点 $O、D$ 分别是 $AC、PC$ 的中点, $OP \perp $ 底面 $ABC$. (I) 求证 $OD //$ 平面 $PAB$; (II) 当 $k=\dfrac{1}{2}$ 时, 求直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小; (III) 当 $k$ 取何值时, $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影恰好为 $\triangle PBC$ 的重心?
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19. 袋子 $A$ 和 $B$ 中装有若干个均匀的红球和白球, 从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\dfrac{1}{3}$, 从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$. (I) 从 $A$ 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有 $3$ 次摸到红球即停止.   (i) 求恰好摸 $5$ 次停止的概率;  (ii) 记 $5$ 次之内 (含 $5$ 次) 摸到红球的次数为 $\xi$, 求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$. (II) 若 $A、B$ 两个袋子中的球数之比为 $1:2$, 将 $A、B$ 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是 $\dfrac{2}{5}$, 求 $p$ 的值.
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20. 设点 $A_n(x_n,0)$, $P_n(x_n,2^{n-1})$ 和抛物线 $C_n:y=x^2+a_nx+b_n~(n \in \mathbf N^*)$, 其中 $a_n=-2-4n-\dfrac{1}{2^{n-1}}$, $x_n$ 由以下方法得到:$x_1=1$, 点 $P_2(x_2,2)$ 在抛物线 $C_1:y=x^2+a_1x+b_1$ 上, 点 $A_1(x_1,0)$ 到 $P_2$ 的距离是 $A_1$ 到 $C_1$ 上点的最短距离, $\cdots$, 点 $P_{n+1}(x_{n+1},2^n)$ 在抛物线 $C_n:y=x^2+a_nx+b_n$ 上, 点 $A_n(x_n,0)$ 到 $P_{n+1}$ 的距离是 $A_n$ 到 $C_n$ 上点的最短距离. (I) 求 $x_2$ 及 $C_1$ 的方程; (II) 证明 $\{x_n\}$ 的等差数列.
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